《中考数学复习讲义》第七章 平行四边形 模型（三十一）——梯子模型

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第七章.平行四边形
模型（三十一）——梯子模型
【最值模型】梯子问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动
【结论】线段 AB 的两端在坐标轴上滑动，∠ABC=90°，AB 的中点为 Q，连
接 OQ，QC，当 O，Q，C 三点共线时，OC 取得最大值
【证明】如图在 Rt△AOB 中，点 Q 是中点，∴OQ= AB.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 CQ= ＝ .
若 OC 要取得最大值，则 O，Q，C 三点共线，即 OC=OQ+QC，即
OC= AB+ 。
1
典例秒杀
典例 1 ☆☆☆☆☆
求最值：AB＝2，BC=1，∠ABC＝90°，点 A、B 在 y 轴、x 轴正半轴滑动，求
OC 最大值
【解析】梯子模型关键在 A、B 两点运动，但动中有静
取 AB 中点 P，PO=1（ 直角三角形斜边中线），
PC= ＝
当 0、P、C 三点不共线，OC＜0P＋PC ,OC＜1＋
当 0、P、C 三点共线，OC＝0P＋PC ,OC＝1＋
∴ ＝1＋
典例 2 ☆☆☆☆☆
最值出角度：AB＝2，BC=1，∠ABC＝90°，点 A、B 在 y 轴、x 轴正半轴滑动，
求何时 O、P、C 三点共线？
【解析】在△BCP 中，BC=BP=1，∴∠1＝∠PCB＝45º，∴∠2＝∠1＝45º，
∵OP=PB，∴∠PBO＝∠POB＝22.5º，
∴当∠PBO＝22.5º 时，O、P、C 三点共线
2
典例 3 ☆☆☆☆☆
如图所示，一根长 2.5 米的木棍 AB 斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角
O 与木棍 B 端的距离为 1.5 米，设木棍的中点为 P，若木棍 A 端沿墙下滑，
则 B 端沿地面向右滑行.
（1）木棍在滑动过程中，线段 OP 的长度发生改变了吗?请说明理由;若不
变，求 OP 的长.
（2）如果木棍的底端 B 向外滑出 0.9 米，那么木棍的顶端 A 沿墙下滑多
少米?
【解析】（1）OP 的长不变.连接 OP，如图.
∵P 是 AB 的中点， ∴AP=BP.
∵∠AOB=90°,∴OP＝ AB＝ ×2.5＝1.25（米）.
（2）如图，由题意得 BB´=0.9 米，∠MON= 90°,
∴OA= =2（米），又 OB´=1.5＋0.9=2.4（米），
OA´= =0.7（米），∴AA´＝2-0.7＝1.3（米），
3
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