《中考数学二轮复习重难题型突破》类型一 最优方案问题（原卷版）

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类型一最优方案问题
【方法总结】
方案设计是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，
然后通过分析、计算、证明等，列举出所有可能方案，或确定出最佳方案的一类数学问
题．
一、主要题型分类
①经济类方案设计题：
根据方程(组)、不等式(组)的整数解、函数等模型，对实际问题中的方案进行比较
来确定最优方案来解决问题；
②操作类方案设计题：
根据实际问题拼接或分割图形．
以上两类试题不仅要求学生要有扎实的数学知识，而且要能够把实际问题中所涉及
的数学问题转化、抽象成具体的数学问题.
二、解题的一般思路
1、解决经济类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；
③建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型或函数模型；
④解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案．
2、解决操作类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②慎重考虑，设计出尽量简便符合要求的图形；
③标上适当的数据，或附上文字说明．
【典例 1】 某市继 2019 年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．
某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 2 个温馨提
示牌和 3 个垃圾箱共需 550 元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的 3 倍．
1
(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
(2)该小区至少需要安放 48 个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个，且费
用不超过 10 000 元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是
多少元？
【典例 2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深
度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师
生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，
就有一位老师少带 4 个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.
甲种客车 乙种客车
载客量/(人/辆) 30 42
租金/（元/辆） 300 400
2
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3 100 元，为了安全，每辆客车上
至少要有 2 名老师．
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租
用客车总数为________辆；
(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【典例 3】有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增
加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
方案一
3
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