《中考数学二轮复习重难题型突破》类型一 最优方案问题（解析版）

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类型一最优方案问题
【方法总结】
方案设计是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，
然后通过分析、计算、证明等，列举出所有可能方案，或确定出最佳方案的一类数学问
题．
一、主要题型分类
①经济类方案设计题：
根据方程(组)、不等式(组)的整数解、函数等模型，对实际问题中的方案进行比较
来确定最优方案来解决问题；
②操作类方案设计题：
根据实际问题拼接或分割图形．
以上两类试题不仅要求学生要有扎实的数学知识，而且要能够把实际问题中所涉及
的数学问题转化、抽象成具体的数学问题.
二、解题的一般思路
1、解决经济类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；
③建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型或函数模型；
④解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案．
2、解决操作类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②慎重考虑，设计出尽量简便符合要求的图形；
③标上适当的数据，或附上文字说明．
【典例 1】 某市继 2019 年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．
某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 2 个温馨提
示牌和 3 个垃圾箱共需 550 元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的 3 倍．
(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
1
(2)该小区至少需要安放 48 个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个，且费
用不超过 10 000 元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是
多少元？
【解题思路】
(1)根据“购买 2 个温馨提示牌和 3 个垃圾箱共需 550 元”，建立方程求解即可得出
结论；
(2)根据“费用不超过 10 000 元和至少需要安放 48 个垃圾箱”，建立不等式即可得
出结论．
【解答过程】
(1)设温馨提示牌的单价为 x 元，则垃圾箱的单价为 3x 元，
根据题意，得 2x＋3×3x＝550，
∴ x ＝ 50. 经检验，符合题意，
∴ 3x ＝ 150 元．
即温馨提示牌和垃圾箱的单价分别是 50 元和 150 元；
(2)设购买温馨提示牌 y 个( y 为正整数)，则垃圾箱为 (100－y) 个，
根据题意，得
∴ 50 ≤ y ≤ 52.
∵ y 为正整数，
∴ y 为 50,51,52，共 3 种方案．
即温馨提示牌 50 个，垃圾箱 50 个；
温馨提示牌 51 个，垃圾箱 49 个；
温馨提示牌 52 个，垃圾箱 48 个．
根据题意，费用为 50y＋150(100－y)＝－100y＋15 000，
当 y ＝ 52 时，所需资金最少，最少是 9 800 元．
【总结归纳】
2
本例题属于经济类方案设计问题，
用方程、不等式知识，是通过计算比较获得解决问题的方案的．
此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，一次函数的图像与性质
等知识，正确找出相等关系是解决此类问题的关键．
【典例 2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深
度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师
生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，
就有一位老师少带 4 个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.
甲种客车 乙种客车
载客量/(人/辆) 30 42
租金/（元/辆） 300 400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3 100 元，为了安全，每辆客车上
至少要有 2 名老师．
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租
用客车总数为________辆；
(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【解题思路】
(1) 设出老师有 x 名，学生有 y 名，得出二元一次方程组，解出即可；
(2) 根据汽车总数不能小于 300/42 ＝50/7 ( 取整为 8 )辆，即可求出；
(3) 设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为 (8－x) 辆，
由题意，得 400x＋300(8－x) ≤ 3 100，得 x 的取值范围，分析得出即可．
【解答过程】
(1)设老师有 x 名，学生有 y 名．
根据题意，列方程组为
3
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