《中考数学二轮复习重难题型突破》类型一 圆的基本性质证明与计算（解析版）

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类型一圆的基本性质证明与计算
【典例 1】如图．点
A
，
B
，
C
，
D
，
E
均在⊙
O
上．∠
BAC
＝15°，∠
CED
＝30°，则∠
BOD
的度数为（　　）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】D
【解析】
【分析】
首先连接
BE
,由圆周角定理即可得∠
BEC
的度数，继而求得∠
BED
的度数,然后由圆周角定理,求得∠
BOD
的度数.
【详解】
解：连接
BE
,
∵∠
BEC
＝∠
BAC
＝15°,∠
CED
＝30°,
∴∠
BED
＝∠
BEC
+∠
CED
＝45°,
∴∠
BOD
＝2∠
BED
＝90°.
故选:
D
.
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理的应用,做题的时候分清楚每一个角是解此类题的关键.
【典例 2】如图，已知四边形
ABCD
内接于⊙
O
，∠
ABC
=70°，则∠
ADC
的度数是（　　）
A．70° B．110° C．130° D．140°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【详解】
1
∵四边形
ABCD
内接于⊙
O
，∠
ABC
=70°，
∴∠
ADC
=180°﹣∠
ABC
=180°﹣70°=110°，
故选：
B
．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【典例 3】如图，已知
BC
是⊙
O
的直径，半径
OA
⊥
BC
，点
D
在劣弧
AC
上（不与点
A
，点
C
重合），
BD
与
OA
交于点
E
．设∠
AED
＝α，∠
AOD
＝β，则（　　）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直角三角形两锐角互余性质，用 α 表示∠
CBD
，进而由圆心角与圆周角关系，用 α 表示∠
COD
，最后由角的和
差关系得结果．
【详解】
解：∵
OA
⊥
BC
，
∴∠
AOB
＝∠
AOC
＝90°，
∴∠
DBC
＝90°﹣∠
BEO
＝90°﹣∠
AED
＝90°﹣α，
∴∠
COD
＝2∠
DBC
＝180°﹣2α，
∵∠
AOD
+∠
COD
＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：
D
．
2
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
【典例 4】如图，在 中， ，以点 O 为圆心，2 为半径的圆与 交于点 C，
过点 C 作 交 于点 D，点 P 是边 上的动点．当 最小时， 的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
延长 CO 交 于点 E，连接 EP，交 AO 于点 P，则 PC+PD 的值最小，利用平行线份线段成比例分别求出 CD，PO 的长
即可．
【详解】
延长 CO 交 于点 E，连接 ED，交 AO 于点 P，如图，
∵CD⊥OB，
∴∠DCB=90°,
又 ，
∴∠DCB=∠AOB，
∴CD//AO
∴
∵OC=2，OB=4，
∴BC=2,
3
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