《中考数学二轮复习重难题型突破》类型一 新定义型（原卷版）

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类型一 新定义型
“新定义”型问题，指的是命题老师用下定义的方式，给出一个新的运算、符号、概念、
图形或性质等，要求同学们“化生为熟”、“现学现用”，能结合已有知识、能力进行
理解，进而进行运算、推理、迁移的一种题型，这类题型往往是教材中一些数学概念的
拓展、变式，是近几年中考数学命题的热点。
“新定义”型试题主要考查同学们学习新知识的能力，具体而言，就是考查大家的阅读
理解能力、数学规则的选择与运用能力、综合运用数学知识分析问题解决问题的能力，
有较强的数学抽象，旨在引导、培养大家在平时的数学学习中，能养成自主学习、主动
探究的学习方式。
“定义新运算”是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． 解决这类问题的
关键是理解新运算规定的规则，明白其中的算理算法． 运算时，要严格按照新定义的
运算规则，转化为已学过的运算形式，然后按正确的运算顺序进行计算．
“定义新符号”试题是定义了一个新的数学符号，要求同学们要读懂符号，了解新符号
所代表的意义，理解试题对新符号的规定，并将新符号与已学知识联系起来，将它转化
成熟悉的知识，而后利用已有的知识经验来解决问题．
【典例 1】对于任意实数 a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：⊗a b=2a+b⊗．例如
3 4=2×3+4=10⊗．
（1）求 2⊗（-5）的值；
（2）若 x⊗（-y）=2，且 2y x=-1⊗，求 x+y 的值．
【典例 2】对于实数 x，规定 表示不小于 x 的最小整数，例如 ，
， ，则
（1）填空：① 　 　；
②若 ，则 x 的取值范围是　 ．
（2）已知 x 为正整数，且 ，求 x 的值．
1
【典例 3】在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得
到的点叫这一点的“互换点”，如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”．
（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？
（2）M，N 是一对“互换点”，若点 M 的坐标为(m，n)，求直线 MN 的表达式(用含 m，n 的代数
式表示)；
（3）在抛物线 y＝x2＋bx＋c 的图象上有一对“互换点”A，B，其中点 A 在反比例函数
的图象上，直线 AB 经过点 P ，求此抛物线的表达式．
【典例 4】对任意一个三位数
n
，如果
n
满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么
称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个
不同的新三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为
F
(
n
)．例如
n
＝123，对调百
位与十位上的数字得到 213，对调百位与个位上的数字得到 321，对调十位与个位上的
数字得到 132，这三个新三位数的和为 213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以
F
(123)＝6．
（1）计算：
F
(243)，
F
(617);
（2）若
s
，
t
都是“相异数”，其中
s
＝100
x
＋32，
t
＝150＋
y
(1≤
x
≤9，1≤
y
≤9，
x
，
y
都是正整数），规定：
k
＝当
F
(
s
)＋
F
(
t
)＝18时，求
k
的最大值．
【典例 5】我们规定：形如 的函数叫做“奇特函数”.
当时，“奇特函数” 就是反比例函数 .
2
（1） 若矩形的两边长分别是 2 和 3，当这两边长分别增加
x
和
y
后，得到的新矩形的面积
为8 ，求
y
与
x
之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；
（2） 如图，在平面直角坐标系中，点
O
为原点，矩形
OABC
的顶点
A
，
C
的坐标分别为
（9，0）、（0，3）．点
D
是
OA
的中点，连结
OB
，
CD
交于点
E
，“奇特函数”
的图象经过
B
，
E
两点.
①求这个“奇特函数”的解析式；
②把反比例函数 的图象向右平移 6个单位，再向上平移0 0 0 0 0 个单位就可得到①
中所得“奇特函数”的图象.过线段
BE
中点
M
的一条直线
l
与这个“奇特函数”的图象交
于
P
，
Q
两点，若以
B
、
E
、
P
、
Q
为顶点组成的四边形面积为 ，请直接写出点
P
的坐
标．
【典例 6】定义[， ， ]为函数 ＝ 2+ 的特征数，下面给出特征数为[2m，1
﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：
①当m＝﹣3 时，函数图象的顶点坐标是（ ）；
②当m＞0 时，函数图象截 轴所得的线段长度大于 ；
3
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