《中考数学二轮复习重难题型突破》类型一 非动态探究题（解析版）

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类型一 非动态探究题
【典例 1】综合与实践
问题情境：
如图①，点 为正方形 内一点， ，将 绕点 按顺时针方向旋
转 ，得到 （点 的对应点为点 ），延长 交 于点 ，连接 ．
猜想证明：
（1）试判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）如图②，若 ，请猜想线段 与 的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若 ， ，请直接写出 的长．
【答案】（1）四边形 是正方形，理由详见解析；（2） ，证明详见解析；
（3） ．
【解析】
【分析】
（1）由旋转可知： ， ,再说明 可得四边形
是矩形，再结合 即可证明；
（2）过点 作 ，垂足为 ，先根据等腰三角形的性质得到 ，再证
可得 ，再结合 、 即可解答；
（3）过 E 作 EG⊥AD，先说明∠1=∠2，再设 EF=x、则 BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，
1
再在 Rt△AEB 中运用勾股定理求得 x，进一步求得 BE 和 AE 的长，然后运用三角函数和线段
的和差求得 DG 和 EG 的长，最后在 Rt△DEG 中运用勾股定理解答即可．
【详解】
解：（1）四边形 是正方形
理由：由旋转可知： ， ，
又 ，
四边形 是矩形．
∵ ．
四边形 是正方形；
（2） ．
证明：如图，过点 作 ，垂足为 ，
则 ，
．
四边形 是正方形，
， ．
，
．
．
∵ ，
；
【典例 2】数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图
1
，正方形
ABCD
的边长为
12
，P
为边
BC
延长线上的一点，E 为 DP 的中点，DP 的垂直平分线交边 DC 于 M，交边 AB 的延长线
2
于 N.当 CP=6 时，EM 与 EN 的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过 E 作直线平行于 BC 交 DC，
AB
分别于
F，G，如图
，则可得：
DF DE
FC EP
，因为
DE EP
，所以
DF FC
.可求出
EF
和
EG
的值，进而可求得 EM 与 EN 的比值.
(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了
DP MN
的结论.你认为小东的这个结论
正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.
【答案】
（1）解：过
E
作直线平行于
BC
交
DC
，
AB
分别于点
F
，
G
，
则
DF DE
FC EP
，
EM EF
EN EG
，
12GF BC 
.
∵
DE EP
，∴
DF FC
.
∴
1 1 6 3
2 2
EF CP  
，
12 3 15EG GF EF  
.
∴
3 1
15 5
EM EF
EN EG
 
.
（2）证明：作
MH
∥
BC
交
AB
于点
H
，
则
MH CB CD 
，
90MHN  
.
∵
180 90 90DCP  
，
3
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