《中考数学二轮复习重难题型突破》类型五 图形面积问题（解析版）

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类型五图形面积问题
【典例 1】小明的家门前有一块空地，空地外有一面长 10 米的围墙，为了美化生活环
境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花
圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及
在左右花圃各放一个 1 米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积
最大？
【答案】：宽 6 米，长 10 米
【解析】：设花圃的宽为
x
米，面积为
S
平方米
则长为：
xx 4342432
(米)
则：
)434( xxS
xx 344
2
4
289
)
4
17
(4
2
x
∵
104340 x
∴
∵
6
4
17
，∴
S
与
x
的二次函数的顶点不在自变量
x
的范围内，
而当
2
17
6x
内，
S
随
x
的增大而减小，
∴当
6x
时，
60
4
289
)
4
17
6(4
2
max
S
(平方米)
答：可设计成宽
6
米，长 10 米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．
【典例 2】某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为 0.4 米的正方形
ABCD
，点
E、F
分别在边
BC
和
CD
上，△
CFE
、△
ABE
和四边形
AEFD
均由单一材料制成，
制成△
CFE
、△
ABE
和四边形
AEFD
的三种材料的每平方米价格依次为 30 元、20 元、10
元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形
EFGH
．
(1)判断图(2)中四边形
EFGH
是何形状，并说明理由；
(2)
E、F
在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
x
【答案】：（1）四边形
EFGH
是正方形
（2）当
CE
=
CF
=0.1 米时，总费用最省．
【解析】：(1) 四边形
EFGH
是正方形．
图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕
C
点
按顺(逆)时针方向旋转 90°后得到的，
故
CE
=
CF
=
CG
．
∴△
CEF
是等腰直角三角形
因此四边形
EFGH
是正方形．　
(2)设
CE
=
x
, 则
BE
=0.4－
x
，每块地砖的费用为
y
元
那么：
y
=
x
×30+ ×0.4×(0.4-
x
)×20+
)24.02.0(10
2
xx
3.2)1.0(10
2
x
)4.00( x
当
x
=0.1 时，
y
有最小值，即费用为最省，此时
CE
=
CF
=0.1．
答：当
CE
=
CF
=0.1 米时，总费用最省．
【典例 3】某居民小区要在一块一边靠墙(墙长 15m)的空地上修建一个矩形花园 ABCD，
花园的一边靠墙，另三边用总长为 40m 的栅栏围成．若设花园的宽为 x(m) ，花园的面
积为 y(m²)．
(1)求 y 与 x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；
（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当
x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
【答案】：（1）y=
200)10(2
2
x
（2）187.5
【解析】：
)240( xxy
)20(2
2
xx
200)10(2
2
x
∵
152400 x
∴
205.12 x
∵二次函数的顶点不在自变量
x
的范围内，
而当
205.12 x
内，
y
随
x
的增大而减小，
∴当
5.12x
时，
5.187200)105.12(2
2
max
y
(平方米)
答：当
5.12x
米时花园的面积最大，最大面积是 187.5 平方米．
【典例 4】如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50 m 长的篱笆围
成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为
x
米．
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少
m
？
(2)如果中间有
n
(
n
是大于1 的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长
应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？
x
【答案】：（1）25（2）25
【解析】：(1)∵长为
x
米，则宽为
3
50 x
米，设面积为
S
平方米．
)50(
3
1
3
50
2
xx
x
xS
3
625
)25(
3
1
2
x
∴当
25x
时，
3
625
max
S
(平方米)
即：鸡场的长度为 25 米时，面积最大．
(2) 中间有
n
道篱笆，则宽为
2
50
n
x
米，设面积为
S
平方米．
则：
)50(
2
1
2
50
2
xx
nn
x
xS
2
625
)25(
2
1
2
n
x
n
∴当
25x
时，
2
625
max
n
S
(平方米)
由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是 25 米．
即：使面积最大的
x
值与中间有多少道隔墙无关．
【典例 5】小李想用篱笆围成一个周长为 60 米的矩形场地，矩形面积 S(单位：平方
米)随矩形一边长 x(单位：米)的变化而变化．
（1）求 S与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）当 x 是多少时，矩形场地面积 S最大？最大面积是多少？
【答案】：（1） （2）15,225
【解析】：（1）根据题意，得
xxx
x
S30
2
260
2
自变量 的取值范围是
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