《中考数学二轮复习重难题型突破》类型五 二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的问题（原卷版）

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类型五 二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的
问题
【典例 1】如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+6 经过两点 A（﹣1，0），B（3，0），C 是抛
物线与 y 轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC 的面积为
S，求 S 关于 m 的函数表达式（指出自变量 m 的取值范围）和 S 的最大值；
（3）点 M 在抛物线上运动，点 N 在 y 轴上运动，是否存在点 M、点 N 使得∠CMN＝
90°，且△CMN 与△OBC 相似，如果存在，请求出点 M 和点 N 的坐标．
1
【典例 2】如图，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左边），
与 y 轴交于点 C．直线 经过 B、C 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P 是抛物线上的一动点，过点 P 且垂直于 x 轴的直线与直线 及 x 轴分别交
于点 D、M． ，垂足为 N．设 ．
①点 P 在抛物线上运动，若 P、D、M 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三
点重合除外）．请直接写出符合条件的 m 的值；
②当点 P 在直线 下方的抛物线上运动时，是否存在一点 P，使 与
相似．若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2
【典例 3】如图，抛物线 与
x
轴正半轴交于点
A
，与
y
轴交于点
B
．
（1）求直线 的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图 1，点
P
为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点
P
作 轴，
垂足为
C
， 交 于点
D
，求 的最大值，并求出此时点
P
的坐标；
（3）如图 2，将抛物线 向右平移得到抛物线 ，直线 与抛
物线 交于
M
，
N
两点，若点
A
是线段 的中点，求抛物线 的解析式．
3
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