《中考数学二轮复习重难题型突破》类型五 二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的问题（解析版）

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类型五 二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的
问题
【典例 1】如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+6 经过两点 A（﹣1，0），B（3，0），C 是抛
物线与 y 轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC 的面积为
S，求 S 关于 m 的函数表达式（指出自变量 m 的取值范围）和 S 的最大值；
（3）点 M 在抛物线上运动，点 N 在 y 轴上运动，是否存在点 M、点 N 使得∠CMN＝
90°，且△CMN 与△OBC 相似，如果存在，请求出点 M 和点 N 的坐标．
【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+6；（2）S△PBC＝﹣3m2+9m（0＜m＜3）；
（3）M（1，8），N（0， ）或 M（ ， ），N（0， ）或 M（ ， ），N（0，
）或 M（3，0），N（0，﹣ ）
【解析】
【分析】
（1）根据点
A、B
的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
1
（2）过点
P
作
PF∥y
轴，交
BC
于点
F
，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点
C
的坐标，根据点
B
、
C
的坐标利用待定系数法即可求出直线
BC
的解析式，设点
P
的坐标为
（
m
，﹣2
m
2+4
m
+6），则点
F
的坐标为（
m
，﹣2
m
+6），进而可得出
PF
的长度，利用三角形
的面积公式可得出
S
△
PBC
＝﹣3
m
2+9
m
，配方后利用二次函数的性质即可求出△
PBC
面积的最
大值；
（3）分两种不同情况，当点
M
位于点
C
上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性
质得出方程，求出点
M
，点
N
的坐标即可．
【详解】
（1）将 A（﹣1，0）、B（3，0）代入 y＝ax2+bx+6，
得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣2x2+4x+6．
（2）过点 P 作 PF∥y 轴，交 BC 于点 F，如图 1 所示．
当 x＝0 时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点 C 的坐标为（0，6）．
设直线 BC 的解析式为 y＝kx+c，
将 B（3，0）、C（0，6）代入 y＝kx+c，得：
，解得： ，
∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣2x+6．
设点 P 的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点 F 的坐标为（m，﹣2m+6），
2
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
∴ ，
∴当 时，△PBC 面积取最大值，最大值为 ．
∵点 P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
（3）存在点 M、点 N 使得∠CMN＝90°，且△CMN 与△OBC 相似．
如图 2，∠CMN＝90°，当点 M 位于点 C 上方，过点 M 作 MD⊥y 轴于点 D，
∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN 与△OBC 相似，则△MCD 与△NCM 相似，
设 M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
当 时，△COB∽△CDM∽△CMN，
∴ ，
解得，a＝1，
3
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