《中考数学二轮复习重难题型突破》类型四 与旋转有关的探究题（解析版）

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类型四 与旋转有关的探究题
【典例 1】如图 1，在 中， ，点 D，E 分别在边
上，且 ，连接 ．现将 绕点 A 顺时针方向旋转，旋转角为
，如图 2，连接 ．
（1）当 时，求证： ；
（2）如图 3，当 时，延长 交 于点 ，求证： 垂直平分 ；
（3）在旋转过程中，求 的面积的最大值，并写出此时旋转角 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 的面积的最大值为 ，
旋转角 的度数为
【解析】
【分析】
（1）利用 “SAS”证得△ACE △ABD 即可得到结论；
（2）利用 “SAS”证得△ACE △ABD，推出∠ACE=∠ABD，计算得出 AD=BC= ，利
用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
（3）观察图形，当点 D 在线段 BC 的垂直平分线上时， 的面积取得最大值，利用等
腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
【详解】
1
（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90 ，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90 ，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE 和△ABD 中， ，
∴△ACE △ABD(SAS)，
∴CE=BD；
（2）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90 ，
在△ACE 和△ABD 中， ，
∴△ACE △ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90 ，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90 ，
∴∠EFB=90 ，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC= ，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90 ，
∴BC= AB = ，CD= AC+ AD= ，
∴BC= CD，
∵CF⊥BD，
∴CF 是线段 BD 的垂直平分线；
（3） 中，边 BC 的长是定值，则 BC 边上的高取最大值时 的面积有最大值，
∴当点 D 在线段 BC 的垂直平分线上时， 的面积取得最大值，如图：
2
∵∵AB=AC= ，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90 ，DG⊥BC 于 G，
∴AG= BC= ，∠GAB=45 ，
∴DG=AG+AD= ，∠DAB=180 -45 =135 ，
∴ 的面积的最大值为： ，
旋转角 ．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线
段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【典例 2】如图，在 Rt△
ABC
中，∠
ACB
＝90°，∠
A
＝30°，点
O
为
AB
中点，点
P
为
直线
BC
上的动点(不与点
B
、点
C
重合)，连接
OC
、
OP
，将线段
OP
绕点
P
逆时针旋转
60°，得到线段
PQ
，连接
BQ
.
(1)如图①，当点
P
在线段
BC
上时，请直接写出线段
BQ
与
CP
的数量关系；
(2)如图②，当点
P
在
CB
延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若
不成立，请说明理由；
(3)如图③，当点
P
在
BC
延长线上时，若∠
BPO
＝45°，
AC
＝，请直接写出
BQ
的长．
3
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