《中考数学二轮复习重难题型突破》类型四 抛物线型问题（解析版）

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类型四抛物线形问题
【典例 1】已知平面直角坐标系
xOy
（如图 1），直线
mxy
的经过点
)0,4(A
和点
)3,(nB
.
（1）求
m
、
n
的值；
（2）如果抛物线
cbxxy
2
经过点
、
，该抛物线的顶点为点
，求
ABPsin
的值；
（3）设点
在直线
mxy
上，且在第一象限内，直线
mxy
与
y
轴的交点为点
D
如果
DOBAQO
，求点
的坐标.
【答案】：（1）
1n
（2）
10
10
sin ABP
（3）（4,8）
【解析】：（1） ∵直线
mxy
的经过点
)0,4(A
∴
04 m
∴
4m
∵直线
mxy
的经过点
)3,(nB
∴
34 n
∴
1n
（2）由可知点
的坐标为
)3,1(
∵抛物线
cbxxy
2
经过点
、
1
图1
Ox
y
∴
31
0416
cb
cb
∴
6b
，
8c
∴抛物线
cbxxy
2
的表达式为
86
2
xxy
∴抛物线
86
2
xxy
的顶点坐标为
)1,3( P
∴
23AB
,
2AP
,
52PB
∴
222
PBBPAB
∴
90PAB
∴
PB
AP
ABP sin
∴
10
10
sin ABP
（3）过点
作
xQH
轴，垂足为点
H
，则
QH
∥
y
轴
∵
DOBAQO
,
QBOOBD
∴△
OBD
∽△
QBO
∴
OB
DB
QB
OB
∵直线
4xy
与
y
轴的交点为点
D
∴点
D
的坐标为
)4,0(
,
4OD
又
10OB
，
2DB
∴
25QB
，
24DQ
∵
23AB
∴
28AQ
,
24DQ
∵
QH
∥
y
轴
∴
AQ
AD
QH
OD
2
∴
28
244
QH
∴
8QH
即点
的纵坐标是
8
又点
在直线
4xy
上
点
的坐标为
)8,4(
【典例 2】如图在直角坐标平面内，抛物线
3
2
bxaxy
与
y
轴交于点
A
，与
x
轴
分别交于点
B
（-1，0）、点
C
（3，0），点
D
是抛物线的顶点.
（1）求抛物线的表达式及顶点
D
的坐标；
（2）联结
AD
、
DC
，求
ACD
的面积；
（3）点
P
在直线
DC
上，联结
OP
，若以
O
、
P
、
C
为顶点的三角形与△
ABC
相似，求点
P
的坐标．
3
备用图
第 2 题图
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