《中考数学二轮复习重难题型突破》类型十一 二次函数与正方形有关的问题（原卷版）

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类型十一 二次函数与正方形有关的问题
【典例 1】如图 1．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴相交于
两点，顶点为 ，设点 是 轴的正半轴上一点，将抛物线
绕点 旋转 ，得到新的抛物线 ．
求抛物线 的函数表达式:
若抛物线 与抛物线 在 轴的右侧有两个不同的公共点，求 的取值范围．
如图 2， 是第一象限内抛物线 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 在抛物线
上的对应点 ，设 是 上的动点， 是 上的动点，试探究四边形 能否
成为正方形？若能，求出 的值；若不能，请说明理由．
1
【典例 2】如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（l，0），B（﹣3，0），与 y 轴交
于点 C，抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴相交于点 E，连接 BD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点 P 在直线 BD 上，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标．
（3）在（2）的条件下，作 PF⊥x 轴于 F，点 M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，G
为抛物线上一动点，当以点 F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点 M 的坐标．
2
【典例 3】如图，抛物线 y=﹣ x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标
为（6，0），点 C 坐标为（0，6），点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为
E，连接 BD．
（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE 时，
求点 F 的坐标；（3）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MN∥x 轴与抛物线交于点 N，点 P
在 x 轴上，点 Q 在坐标平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请写出点 Q 的坐标．
【典例 4】如图，已知抛物线 y=ax2+bx﹣3 过点 A（﹣1，0），B（3，0），点 M、N 为抛物
线上的动点，过点 M 作 MD∥y 轴，交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E．过点 N 作 NF⊥x 轴，垂
3
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