《中考数学二轮复习重难题型突破》类型十二 二次函数与圆的问题（解析版）

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类型十二 二次函数与圆的问题
【典例 1】如图，抛物线
y
＝
ax
2+
x
+
c
经过点
A
（﹣1，0）和点
C
（0，3）与
x
轴的另一
交点为点
B
，点
M
是直线
BC
上一动点，过点
M
作
MP
∥
y
轴，交抛物线于点
P
．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点
Q
，使得△
QCO
是等边三角形？若存在，求出点
Q
的坐标；
若不存在，请说明理由；
（3）以
M
为圆心，
MP
为半径作⊙
M
，当⊙
M
与坐标轴相切时，求出⊙
M
的半径．
【答案】（1）y＝﹣ x2+ x+3；（2）不存在，理由见解析；（3）⊙M 的半径为 或
【解析】
【分析】
（1）已知抛物线 y＝ax2+ x+c 经过点 A(﹣1,0)和点 C(0,3)，利用待定系数法即可求得抛
物线解析式；
（2）在抛物线上找到一点 Q，使得△QCO 是等边三角形，过点 Q 作 OM⊥OB 于点 M，过点 Q
作 QN⊥OC 于点 N，根据△QCO 是等边三角形，求得 Q 点坐标，再验证 Q 点是否在抛物线上；
（3）分两种情况①当⊙M 与 y 轴相切，如图所示，令 M 点横坐标为 t，PM=t，将 PM 用 t 表
示出来，列出关于 t 的一元二次方程，求得 t，进而求得半径；②⊙M 与 x 轴相切，过点 M
作 MN⊥OB 于 N，如图所示，令 M 点横坐标为 m，因为 PN=2MN，列出关于 m 的一元二次方程，
1
即可求出 m，进而求得⊙M 的半径．
【详解】
（1）∵抛物线 y＝ax2+ x+c 经过点 A(﹣1,0)和点 C(0,3)
∴
解得
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+ x+3
故答案为：y＝﹣ x2+ x+3
（2）在抛物线上找到一点 Q，使得△QCO 是等边三角形，过点 Q 作 OM⊥OB 于点 M，过点 Q
作 QN⊥OC 于点 N
∵△QCO 是等边三角形，OC=3
∴CN=
∴NQ=
即 Q( , )
当 x= 时，y＝﹣ ×( )2+ × +3= ≠
∴Q( , )不在抛物线上
2
y＝﹣ x2+ x+3
故答案为：不存在，理由见解析
（3）①⊙M 与 y 轴相切，如图所示
∵y＝﹣ x2+ x+3
当 y=0 时，﹣ x2+ x+3=0
解得 x1=-1，x2=4
∴B(4,0)
令直线 BC 的解析式为 y=kx+b
解得
∴直线 BC 的解析式为
令 M 点横坐标为 t
∵MP∥y 轴，⊙M 与 y 轴相切
∴t=﹣ t2+ t+3-
3
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