《中考数学二轮复习重难题型突破》类型十 二次函数与矩形有关的问题（解析版）
类型十 二次函数与矩形有关的问题
【典例 1】如果一条抛物线 与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶
点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；
（2）若抛物线 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求 b 的值；
（3）如图，△OAB 是抛物线 的“抛物线三角形”，是否存在以原点 O 为
对称中心的矩形 ABCD？若存在，求出过 O、C、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明
理由．
【答案】解：（1）等腰。
（2）∵抛物线 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
∴该抛物线的顶点 满足 （b＞0）。
∴b=2。
（3）存在。
如图，作△OCD 与△OAB 关于原点 O 中心对称，
则四边形 ABCD 为平行四边形。
当 OA=OB 时，平行四边形 ABCD 为矩形。
又∵AO=AB， ∴△OAB 为等边三角形。
作 AE⊥OB，垂足为 E，
∴ ，即 ，∴
1
．
∴ 。
设过点 O、C、D 三点的抛物线 ，则
，解得， 。
∴所求抛物线的表达式为 。
【典例 2】如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线
y
＝
ax
2－2
ax
－3
a
（
a
＜0）与
x
轴交
于
A
、
B
两点（点
A
在点
B
的左侧），点
D
是第四象限内抛物线上的一点，直线
AD
与
y
轴负
半轴交于点
C
，且
CD
＝4
AC
．设
P
是抛物线的对称轴上的一点，点
Q
在抛物线上，以点
A
、
D
、
P
、
Q
为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点
P
的坐标；若不能，请说明理由．
图 5-1
【解析】由
y
＝
ax
2－2
ax
－3
a
＝
a
(
x
＋1)(
x
－3)，得
A
(－1, 0)．
由
CD
＝4
AC
，得
xD
＝4．所以
D
(4, 5
a
)．
已知
A
(－1, 0)、
D
(4, 5
a
)，
xP
＝1，以
AD
为分类标准，分两种情况讨论：
①如图 5-2，如果
AD
为矩形的边，我们根据
AD
//
QP
，
AD
＝
QP
来两次平 移坐标．
由于
A
、
D
两点间的水平距离为 5，所以点
Q
的横坐标为－4．所以
Q
(－4,21
a
)．
由于
A
、
D
两点间的竖直距离为－5
a
，所以点
P
的纵坐标为 26
a
．所以 P(1, 26
a
)．
根据矩形的对角线相等，得
AP
2＝
QD
2．所以 22＋(26
a
)2＝82＋(16
a
)2．
整理，得 7
a
2＝1．所以 ．此时
P
．
②如图 5-3，如果
AD
为矩形的对角线，我们根据
AP//QD
，
AP
＝
QD
来两次平移坐标．
由于
A
、
P
两点间的水平距离为 2，所以点
Q
的横坐标为 2．所以
Q
(2,－3
a
)．
由于
Q
、
D
两点间的竖直距离为－8
a
，所以点
P
的纵坐标为 8
a
．所以
P
(1, 8
a
)．
2
再根据
AD
2＝
PQ
2，得 52＋(5
a
)2＝12＋(11
a
)2．
整理，得 4
a
2＝1．所以 ．此时
P
．
我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的 边
与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．
上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个
角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．
如图 5-2，如果∠
ADP
＝90°，那么 ；如图 5-3，如果∠
QAP
＝90°，那么
．
图 5-2 图 5-3
【典例 3】如图所示，抛物线 m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与 x 轴于点 A、B（点 A 在点 B 的
左侧），与
y
轴交于点
C
．将抛物线
m
绕点
B
旋转 180°，得到新的抛物线
n
，它的顶
点为
C
1，与 x 轴的另一个交点为
A
1．
（1）当
a
=﹣1，
b
=1 时，求抛物线
n
的解析式；
（2）四边形
AC
1
A
1
C
是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；
（3）若四边形
AC
1
A
1
C
为矩形，请求出
a
，
b
应满足的关系式．
【答案】：解：（1）当
a
=﹣1，
b
=1 时，抛物线
m
的解析式为：
y
=﹣
x
2+1．
令
x
=0，得：
y
=1．∴
C
（0，1）．令
y
=0，得：
x
=±1．∴
A
（﹣1，0），
B
（1，0），
3
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