《中考数学二轮复习重难题型突破》类型三 新解题方法型（原卷版）
类型三新解题方法型
【典例 1】求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章
算术》中便记载了求两个正整数最大公数最大公约数 的一种方法——更相减损术，术曰：
“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数
约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差
然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差 (或减
数)即为这两个正整数的最大公约数．
例如：求 91 与 56 的最大公约数
91－56＝35
56－35＝21
35－21＝14
21－1 4＝7
14 －7＝7
所以，91 与 56 的最大公约数是 7.
请用以上方法解决下列问题：
(1)求 108 与 45 的最大公约数；
(2)求三个数 78、104、143 的最大公约数．
【典例 2】数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的
方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题
1
中的应用．
探究：求不等式|
x
－1|< 2 的解集
(1)探究|
x
－1|的几何意义
(2)求方程|
x
－1|＝2 的解
(3)求不等式|
x
－1|<2 的解集
因为|
x
－1|表示数轴上
x
所对应的点与 1 所对应的点之间的距 离，所以求不等式解集
就转化为求这个距离小于 2 的点对应的数
x
的范围．
请在图②的数轴上表示|
x
－1|<2 的解集，并写出这个解集．
【典例 3】古希腊数学家丢番图(公元 250 年前后)在《算术》中提到了一元二次方程
的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧
几里得的《几何原本》中，形如
x
2＋
ax
＝
b
2(
a
＞0，
b
＞0)的方 程的图解法是：如图，以 和
b
为两直角边作
Rt
△
ABC
，再在斜边上截取
BD
＝，则
AD
的长就是所求方程的解．
2
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