《中考数学二轮复习重难题型突破》类型三 利润最值问题（解析版）
类型三利润最值问题
【典例 1】将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元售出时，每天能卖出 20 个．
若这种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加了 1 个，为了获得最大
利润，则应降价__元，最大利润为__________元．
【答案】：5 元,625 元
【解析】：设每件价格降价 元，利润为 元，
则：
当 ， （元）
答：价格提高 5 元，才能在半个月内获得最大利润．
【典例 2】黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进 3 件甲商品和 2 件乙商品，
需 60 元；购进 2 件甲商品和 3 件乙商品，需 65 元．
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为
x
（单位：元/件），在销售过程中发现：当 11≤
x
≤19
时，甲商品的日销售量
y
（单位：件）与销售单价
x
之间存在一次函数关系，
x
、
y
之间的
部分数值对应关系如表：
销售单价
x
（元/
件） 11 19
日销售量
y
（件） 18 2
请写出当 11≤
x
≤19 时，
y
与
x
之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为
w
元，当甲商品的销售单价
x
（元
/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是 10、15 元/件；（2）
y
＝﹣
2
x
+40（11≤
x
≤19）．（3）当甲商品的销售单价定为 15 元/件时，日销售利润最大，最
大利润是 50 元．
1
【解析】
【分析】
（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是
a
、
b
元/件，然后列出二元一次方程组并
求解即可；
（2）设
y
与
x
之间的函数关系式为
y
＝
k
1
x
+
b
1，用待定系数法求解即可；
（3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可．
【详解】
解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是
a
、
b
元/件，由题意得：
，
解得： ．
∴甲、乙两种商品的进货单价分别是 10、15 元/件．
（2）设
y
与
x
之间的函数关系式为
y
＝
k
1
x
+
b
1，将（11，18），（19，2）代入得：
，解得： ．
∴
y
与
x
之间的函数关系式为
y
＝﹣2
x
+40（11≤
x
≤19）．
（3）由题意得：
w
＝（﹣2
x
+40）（
x
﹣10）
＝﹣2
x
2+60
x
﹣400
＝﹣2（
x
﹣15）2+50（11≤
x
≤19）．
∴当
x
＝15 时，
w
取得最大值 50．
∴当甲商品的销售单价定为 15 元/件时，日销售利润最大，最大利润是 50 元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数
的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键．
【典例 3】为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型
2
号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为 25 元/个，乙种型号水杯进价
为 45 元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：
时
间
销售数量（个）
销售收入（元）（销售收入＝售价×销售
数量）
甲种型号 乙种
型号
第
一月 22 8 1100
第
二月 38 24 2460
（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；
（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共 80 个，这批水杯进货的预算成本
不超过 2600 元，且甲种型号水杯最多购进 55 个，在 80 个水杯全部售完的情况下设购进
甲种号水杯
a
个，利润为
w
元，写出
w
与
a
的函数关系式，并求出第三月的最大利润．
【答案】（1）甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为 30 元、55 元；（2）
w
＝﹣
5
a
+800，第三月的最大利润为 550 元．
【解析】
【分析】
（1）设甲种型号的水杯的售价为每个 元，乙种型号的水杯每个 元，根据题意列
出方程组求解即可，
（2）根据题意写出利润 关于 的一次函数关系式，列不等式组求解 的范围，从
而利用一次函数的性质求利润的最大值．
【详解】
解：（1）设甲种型号的水杯的售价为每个 元，乙种型号的水杯每个 元，则
① ②得：
3
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