《中考数学二轮复习重难题型突破》类型三 二次函数与面积有关的问题（解析版）
类型三二次函数与图形面积问题
【典例 1】已知直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，二次函数的图象
过 两点，交 轴于另一点 ， ，且对于该二次函数图象上的任意两点
， ，当 时，总有 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线 ，求证：当 时， ；
（3） 为线段 上不与端点重合的点，直线 过点 且交直线 于
点 ，求 与 面积之和的最小值．
【答案】（1） ；（2）详见解析；（3） 的最小值为
．
【解析】
【分析】
（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出 A，B 两点的坐标，再根
据 BC=4，得出点 C 的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式；
（2）利用反证法证明即可；
（3）先求出 q 的值，利用 ，得出 ，设 ，
然后用含 t 的式子表示出 的面积，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】
解：（1）对于 ，
当 时， ，所以 ；
当 时， ， ，所以 ，
又因为 ，所以 或 ，
若抛物线过 ，则当 时， 随 的增大而减少，不符合题意，舍去．
1
若抛物线过 ，则当 时，必有 随 的增大而增大，符合题意．
故可设二次函数的表达式为 ，
依题意，二次函数的图象过 ， 两点，
所以 ，解得
所求二次函数的表达式为 ．
（2）当 时，直线 与直线 不重合，
假设 和 不平行，则 和 必相交，设交点为 ，
由 得 ，
解得 ，与已知 矛盾，所以 与 不相交，
所以 ．
（3）如图，
因为直线 过 ，所以 ，
又因为直线 ，所以 ，即 ，
所以 ， ，
2
所以 ，所以 ，
设 ，则 ，
，
所以 ，
所以
所以当 时， 的最小值为 ．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面
积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想
的运用．
【典例 2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 ， 两点，
交 轴于点 ，且 ，点 是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若 ，求点 的坐标；
（3）连接 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标．
3
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