《中考数学二轮复习重难题型突破》类型七 与面积有关的探究题（解析版）
类型七 与面积有关的探究题
【典例 1】已知，△
ABC
为直角三角形，∠
ACB
＝90°，点
P
是射线
CB
上一点(点
P
不
与点
B
、
C
重合)，线段
AP
绕点
A
顺时针旋转 90°得到线段
AQ
，连接
QB
交射线
AC
于点
M
.
(1)如图①，当
AC
＝
BC
，点
P
在线段
CB
上时，线段
PB
，
CM
的数量关系是________；
(2)如图②，当
AC
＝
BC
，点
P
在线段
CB
的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，
写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)如图③，若＝，点
P
在线段
CB
的延长线上，
CM
＝2，
AP
＝13，求△
ABP
的面积．
第 1 题图
【答案】解：(1)
PB
＝2
CM
；
【解法提示】如解图①，过点
Q
作
QD
⊥
AC
于点
D
，
第 1 题解图①
QE
⊥
BC
交
BC
的延长线于点
E
.
∵
AQ
是由
AP
绕点
A
顺时针旋转 90°得到的，
∴
AP
＝
AQ
，且∠
PAQ
＝90°，
∴∠
PAC
＋∠
QAD
＝90°，又∠
PAC
＋∠
APC
＝90°，
∴∠
QAD
＝∠
APC
，
∴△
ACP
≌△
QDA
(AAS)，
∴
AC
＝
QD
＝
CE
，
又∵△
ABC
为等腰直角三角形，
∴
AC
＝
BC
＝
EC
，即点
C
为
BE
的中点，
∴
CM
＝
QE
，即
QE
＝2
CM
，
连接
AE
，∵
AC
＝
CE
＝
BC
，
∴△
ABE
为等腰直角三角形，
∴
AE
＝
AB
，
1
∵∠
BAE
＝∠
PAQ
＝90°，∴∠
BAP
＝∠
EAQ
，
又∵
AP
＝
AQ
，
∴△
APB
≌△
AQE
(SAS)，
∴
BP
＝
QE
＝2
CM
，
∴
PB
＝2
CM
；
(2)(1)中的结论
PB
＝2
CM
仍然成立；
证明：如解图②所示，过点
Q
作
QG
⊥
BC
交
BC
的延长线于点
G
，过点
A
作
AF
⊥
QG
交
QG
的延长线于点
F
.
第 1 题解图②
∵
AQ
是由
AP
绕点
A
顺时针旋转 90°得到的，
∴
AP
＝
AQ
，且∠
PAQ
＝90°，
∴∠
PAC
＋∠
CAQ
＝90°，
又∵∠
QAF
＋∠
CAQ
＝90°，
∴∠
PAC
＝∠
QAF
，
∴△
PAC
≌△
QAF
(AAS)，
∴
AC
＝
AF
，
∴四边形
AFGC
为正方形，
∴
CG
＝
AC
＝
BC
，即
C
为
BG
的中点，
∴
QG
＝2
CM
，
连接
AG
可得，△
ABG
为等腰直角三角形，
∴
AB
＝
AG
，
∠
PAB
＋∠
BAQ
＝∠
QAG
＋∠
BAQ
＝90°，
∴∠
PAB
＝∠
QAG
，
∴△
PAB
≌△
QAG
(SAS)，
∴
PB
＝
QG
＝2
CM
，
∴
PB
＝2
CM
；
(3) 如解图③所示，过点
Q
作
QH
⊥
AC
交
AC
的延长线于点
H
.
2
第 1 题解图③
由题知，＝，设
AC
＝5
a
，
BC
＝2
a
，
由(2)知，△
ACP
≌△
QHA
，
∴
QH
＝
AC
＝5
a
，
又∵△
BCM
∽△
QHM
，
∴＝，
∴＝，∴
MH
＝5，
又∵
AP
＝
AQ
＝13，
∴在 Rt△
AHQ
中，根据勾股定理得：
QH
2＋
AH
2＝
AQ
2，
∴(5
a
)2＋(5
a
＋2＋5)2＝132，
化简得：5
a
2＋7
a
－12＝0，
即(
a
－1)(5
a
＋12)＝0，
解得：
a
1＝1，
a
2＝－(舍)，
∴
BC
＝2，
AH
＝
CP
＝12，
AC
＝5，
∴
BP
＝
PC
－
BC
＝12－2＝10，
∴
S
△
ABP
＝
BP
·
AC
＝×10×5＝25.
【典例 2】如图，将 OA= 6，AB = 4 的矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中，动点 M、N 以每
秒１个单位的速度分别从点 A、C 同时出发，其中点 M 沿 AO 向终点 O 运动，点 N 沿 CB 向终
点 B 运动，当两个动点运动了 t 秒时，过点 N 作 NP⊥BC，交 OB 于点 P，连接 MP．
（1）点 B 的坐标为；用含 t 的式子表示点 P 的坐标为；
（2）记△OMP 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求 t 为何值时，S
有最大值？
（3）试探究：当 S 有最大值时，在 y 轴上是否存在点 T，使直线 MT 把△ONC 分割成三角
形和四边形两部分，且三角形的面积是△ ONC 面积的 ？若存在，求出点 T 的坐标；
若不存在，请说明理由．
3
OA
B
C
P
N
M
x
y
O A
B
C
x
y
（备用图）
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