《中考数学二轮复习重难题型突破》类型七 二次函数与直角三角形有关的问题（解析版）

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类型七 二次函数与直角三角形有关的问题
【典例 1】如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点．
（1）若过点 的直线 是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点 ，使点 关于直线 的对称点 恰好落在对称轴上．若存在，
请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当 ， 时，函数值 的最大值满足 ，求 的取值范围．
【答案】（1）① ；②存在， 或 ；（2）
．
【解析】
【分析】
（1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；
②如图 1，若点 P 在 x 轴上方，点 B 关于 OP 对称的点 在对称轴上，连接 、PB，根据
轴对称得到 ， ，求出点 B 的坐标，勾股定理得到 ，再根据
，列出方程解答，同理得到点 P 在 x 轴下方时的坐标即可；
1
（2）当 时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当 时，函数的增减
性，从而得到当 x=2 时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．
【详解】
解：（1）①抛物线 的对称轴为直线 ，
∴若过点 的直线 是抛物线的对称轴，
则 ，解得：b=4，
∴ ；
②存在，
如图 1，若点 P 在 x 轴上方，点 B 关于 OP 对称的点 在对称轴上，连接 、PB，
则 ， ，
对于 ，令 y=0，则 ，
解得： ，
∴A（-1,0），B（5,0），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设点 P（2，m），
由 可得： ，解得： ，
∴ ，
2
同理，当点 P 在 x 轴下方时， ，
综上所述，点 或
（2）∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴当 时， ，
∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y 随 x 的增大而增大，
∴当 时，取 x=2，y 有最大值，
即 ，
∴ ，解得： ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理的应用，
其中第（1）②问要先画出图形再理解，第（2）问运用到了二次函数的增减性，难度不大，
解题的关键是熟记二次函数的图象与性质．
【典例 2】如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋4 的图象与 x 轴交于点 A(－1，0)，B(4，0)，与 y
3
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