《中考数学二轮复习重难题型突破》类型六 与圆有关的探究题（解析版）

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类型六 与圆有关的探究题
【典例 1】定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的
锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图 1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A＝α，请用含 α 的代数式表示∠E．
（2）如图 2，四边形 ABCD 内接于⊙O， ＝ ，四边形 ABCD 的外角平分线 DF 交⊙O 于
点 F，连结 BF 并延长交 CD 的延长线于点 E．求证：∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角．
（3）如图 3，在（2）的条件下，连结 AE，AF，若 AC 是⊙O 的直径．
①求∠AED 的度数；
②若 AB＝8，CD＝5，求△DEF 的面积．
【答案】（1）∠E＝ α；（2）见解析；（3）①∠AED＝45°；②
【解析】
【分析】
（1）由角平分线的定义可得出结论；
（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC，证得
∠ABF=∠FBC，证出∠ACD=∠DCT，则 CE 是△ABC 的外角平分线，可得出结论；
（3）①连接 CF，由条件得出∠BFC=∠BAC，则∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，证明
△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出 DE=DA，则∠AED=∠DAE，得出
∠ADC=90°，则可求出答案；
②过点 A 作 AG⊥BE 于点 G，过点 F 作 FM⊥CE 于点 M，证得△EGA∽△ADC，得出 ，
1
求出 ，设 AD=4x，AC=5x，则有（4x）2+52=（5x）2，解得 x= ，求出 ED，CE 的长，
求出 DM，由等腰直角三角形的性质求出 FM，根据三角形的面积公式可得出答案．
【详解】
解：（1）∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝ （∠ACD﹣∠ABC）＝ α，
（2）如图 1，延长 BC 到点 T，
∵四边形 FBCD 内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF 平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE 是∠ABC 的平分线，
∵ ，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE 是△ABC 的外角平分线，
∴∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角．
2
（3）①如图 2，连接 CF，
∵∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠FAD，
∴∠BEC＝∠FAD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA（AAS），
∴DE＝DA，
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图 3，过点 A 作 AG⊥BE 于点 G，过点 F 作 FM⊥CE 于点 M，
∵AC 是⊙O 的直径，
3
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