《中考数学二轮复习重难题型突破》类型六 二次函数与等腰三角形有关的问题（原卷版）
类型六 二次函数与等腰三角形有关的问题
【典例 1】如图，已知抛物线
y
＝
ax
2＋
bx
＋4(
a
≠0)的对称轴为直线
x
＝3，抛物线与
x
轴相交于
A
，
B
两点，与
y
轴相交于点
C
，已知
B
点的坐标为(8，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点
M
为线段
BC
上方抛物线上的一点，点
N
为线段
BC
上的一点，若
MN
∥
y
轴，求
MN
的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点
Q
，使△
ACQ
为等腰三角形？若存在，求出符合条
件的
Q
点坐标；若不存在，请说明理由．
【典例 2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y
＝
x
2＋
bx
＋
c
经过点
A
(0，－6)和点
C
(6，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与
x
轴的负半轴交于点
B
，试判断△
ABC
的形状；(钝角三角形、直角三角形、
锐角三角形)
1
(3)在抛物线上是否存在点
P
，使得△
PAC
是以
AC
为底的等腰三角形？若存在，请求出所有
点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例 3】如图，在平面直角坐标系中，直线
y
＝－2
x
＋10 与
x
轴，
y
轴相交于
A
，
B
两点，点
C
的坐标是(8，4)，连接
AC
，
BC
.
(1)求过
O
，
A
，
C
三点的抛物线的解析式，并判断△
ABC
的形状；
(2)动点
P
从点
O
出发，沿
OB
以每秒 2 个单位长度的速度向点
B
运动，同时，动点
Q
从
点
B
出发，沿
BC
以每秒 1 个单位长度的速度向点
C
运动，规定其中一个动点到达端点时，
另一个动点也随之停止运动．设运动时间为
t
秒．当
t
为何值时，
PA
＝
QA?
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点
M
，使以
A
，
B
，
M
为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，求出点
M
的坐标；若不存在，请说明理由．
2
【典例 4】如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（ 在 的右侧），
且经过点 和点 ．
3
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