《中考数学二轮复习重难题型突破》类型六 二次函数与等腰三角形有关的问题（解析版）

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类型六 二次函数与等腰三角形有关的问题
【典例 1】如图，已知抛物线
y
＝
ax
2＋
bx
＋4(
a
≠0)的对称轴为直线
x
＝3，抛物线与
x
轴相交于
A
，
B
两点，与
y
轴相交于点
C
，已知
B
点的坐标为(8，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点
M
为线段
BC
上方抛物线上的一点，点
N
为线段
BC
上的一点，若
MN
∥
y
轴，求
MN
的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点
Q
，使△
ACQ
为等腰三角形？若存在，求出符合条
件的
Q
点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：(1)根据题意得，－＝3，
即
b
＝－6
a
，
则抛物线的解析式为
y
＝
ax
2－6
ax
＋4，将
B
(8，0)代入得，
0＝64
a
－48
a
＋4，
解得
a
＝－，则
b
＝，
∴抛物线的解析式为
y
＝－
x
2＋
x
＋4；
(2)设直线
BC
的解析式为
y
＝
kx
＋
d
，
由抛物线解析式可知：当
x
＝0 时，
y
＝4，即点
C
(0，4)，
将
B
(8，0)，
C
(0，4)代入得：
解得，
∴直线
BC
的解析式为
y
＝－
x
＋4，
设点
M
的横坐标为
x
(0＜
x
＜8)，
1
则点
M
的纵坐标为－
x
2＋
x
＋4，点
N
的纵坐标为－
x
＋4，
∵点
M
在抛物线上，点
N
在线段
BC
上，
MN
∥
y
轴，
∴
MN
＝－
x
2＋
x
＋4－(－
x
＋4)＝－
x
2＋2
x
＝－(
x
－4)2＋4，
∴当
x
＝4 时，
MN
的值最大，最大值为 4；
（3）存在．
令－
x
2＋
x
＋4＝0，
解得
x
1＝－2，
x
2＝8，
∴
A
(－2，0)，
又∵
C
(0，4)，
由勾股定理得，
AC
＝＝2，
如解图，过点
C
作
CD
⊥对称轴于点
D
，连接
AC
.
∵抛物线对称轴为直线
x
＝3，
∴
CD
＝3，
D
(3，4)．
①当
AC
＝
CQ
时，
DQ
＝＝＝，
当点
Q
在点
D
的上方时，点
Q
到
x
轴的距离为 4＋，
此时，点
Q
1(3，4＋)，
当点
Q
在点
D
的下方时，点
Q
到
x
轴的距离为 4－，
此时点
Q
2(3，4－)；
②当
AQ
＝
CQ
时，设
Q
（3，
t
），则
AQ
2=（3+2）2+
t
2，
CQ
=9+（4-
t
）2，
则（3+2）2+
t
2=9+（4-
t
）2，解得 t=0，
此时，点
Q
3(3，0)；
2
③当
AC
＝
AQ
时，
∵
AC
＝2，点
A
到对称轴的距离为 5，2<5，
∴不可能在对称轴上存在
Q
点使
AC
＝
AQ
，
综上所述，当点
Q
的坐标为(3，4＋)或(3，4－)或(3，0)时，△
ACQ
为等腰三角形．
【典例 2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y
＝
x
2＋
bx
＋
c
经过点
A
(0，－6)和点
C
(6，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与
x
轴的负半轴交于点
B
，试判断△
ABC
的形状；(钝角三角形、直角三角形、
锐角三角形)
(3)在抛物线上是否存在点
P
，使得△
PAC
是以
AC
为底的等腰三角形？若存在，请求出所有
点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：(1)将
C
、
A
两点坐标代入
y
＝
x
2＋
bx
＋
c
，可得，
解得，
∴抛物线的解析式为
y
＝
x
2－5
x
－6；
(2)当
y
＝0 时，则有：
x
2－5
x
－6＝0，
即(
x
＋1)(
x
－6)＝0，
∴解得
x
1＝－1，
x
2＝6(舍)，
∴
B
(－1，0)．
由两点之间的距离公式可得：
BC
2＝[(－1)－6]2＝49，
AC
2＝(6－0)2＋[0－(－6)]2＝72，
AB
2＝(－1－0)2＋[0－(－6)]2＝37，
3
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