《中考数学二轮复习重难题型突破》类型九 二次函数与菱形有关的问题（原卷版）

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类型九 二次函数与菱形有关的问题
【典例 1】如图，已知抛物线 经过点 和点 ，与 轴
交于点 .
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点 是直线 下方的抛物线上一动点（不点 ， 重合），过点 作 轴的平
行线交直线 于点 ，设点 的横坐标为 .
①用含 的代数式表示线段 的长；
②连接 ， ，求 的面积最大时点 的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与 交于点 ，点 是抛物线的对称轴上一点， 为 轴上一
点，是否存在这样的点 和点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？
如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由.
1
【典例 2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x轴交于 A、B两点，
B点的坐标为（3，0），与 y轴交于点 C（0，﹣3），点 P是直线 BC 下方抛物线上的任意
一点．
（1）求这个二次函数 y=x2+bx+c 的解析式．
（2）连接 PO，PC，并将△POC 沿y轴对折，得到四边形 POP′C，如果四边形 POP′C 为菱
形,求点 P的坐标．
（3）如果点 P在运动过程中，能使得以 P、C、B为顶点的三角形与△AOC 相似，请求出
此时点 P的坐标．
2
【典例 3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝﹣x2+bx+c的图象与 x轴交于 A、B两
点，A点的坐标为（﹣3，0），B点在原点的左侧，与 y轴交于点 C（0，3），点 P是直线
BC 上方的抛物线上一动点
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接 PO、PC，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形 POP′C（如图 1所示），那么是
否存在点 P，使四边形 POP′C为菱形？若存在，请此时点 P的坐标：若不存在，请说明理
由；
（3）当点 P运动到什么位置时，四边形 ABCP 的面积最大，并求出其最大值．
3
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