《中考数学二轮复习重难题型突破》类型九 二次函数与菱形有关的问题（解析版）

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类型九 二次函数与菱形有关的问题
【典例 1】如图，已知抛物线 经过点 和点 ，与 轴
交于点 .
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点 是直线 下方的抛物线上一动点（不点 ， 重合），过点 作 轴的平
行线交直线 于点 ，设点 的横坐标为 .
①用含 的代数式表示线段 的长；
②连接 ， ，求 的面积最大时点 的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与 交于点 ，点 是抛物线的对称轴上一点， 为 轴上一
点，是否存在这样的点 和点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？
如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）y＝x24﹣x+3；（2）①用含 m的代数式表示线段 PD 的长为﹣m2+3m；②
△PBC 的面积最大时点 P的坐标为（ ，﹣ ）；（3）存在这样的点 M和点 N，使得以
点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．点 M的坐标为 M1（2，3），M2（2，1 2﹣
1
），M3（2，1+2 ）．
【解析】
（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点 A（1，0）和点 B（3，0），与 y轴交于点 C，
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为 y＝x24x+3﹣；
（2）①设 P（m，m24m+3﹣），
将点 B（3，0）、C（0，3）代入得直线 BC 解析式为 yBC＝﹣x+3．
∵过点 P作y轴的平行线交直线 BC 于点 D，
∴D（m，﹣m+3），
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m24m+3﹣）＝﹣m2+3m．
答：用含 m的代数式表示线段 PD 的长为﹣m2+3m．
②S△PBC＝S△CPD+S△BPD
＝OB•PD＝﹣ m2+ m
＝﹣ （m﹣）2+．
∴当 m＝ 时，S有最大值．
当m＝ 时，m24m+3﹣＝﹣ ．
∴P（ ，﹣ ）．
答：△PBC 的面积最大时点 P的坐标为（ ，﹣ ）．
（3）存在这样的点 M和点 N，使得以点 C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．
根据题意，点 E（2，1），
∴EF=CF=2，
2
∴EC=2，
根据菱形的四条边相等，
∴ME=EC=2 ，∴M（2，1-2 ）或（2，1+2 ）
当EM=EF=2 时，M（2，3）
∴点 M的坐标为 M1（2，3），M2（2，1 2﹣），M3（2，1+2 ）．
【典例 2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x轴交于 A、B两点，
B点的坐标为（3，0），与 y轴交于点 C（0，﹣3），点 P是直线 BC 下方抛物线上的任意
一点．
（1）求这个二次函数 y=x2+bx+c 的解析式．
（2）连接 PO，PC，并将△POC 沿y轴对折，得到四边形 POP′C，如果四边形 POP′C 为菱
形,求点 P的坐标．
（3）如果点 P在运动过程中，能使得以 P、C、B为顶点的三角形与△AOC 相似，请求出
此时点 P的坐标．
【答案】（1）y=x22x 3﹣ ﹣ （2）（2）（ ，-）（3）P、C、B为顶点的三角形与
△AOC 相似，此时点 P的坐标（1，﹣4）
【解析】（1）将 B、C点代入函数解析式，得： ，解得： ，这个
二次函数 y＝x2+bx+c的解析式为 y＝x22﹣x3﹣ ；
（2）∵四边形 POP′C为菱形，∴OC 与PP′互相垂直平分，∴yP，即 x22﹣x3﹣
3
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