《中考数学二轮复习重难题型突破》类型二 与切线有关的证明与计算（解析版）

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类型二与切线有关的证明与计算
【典例 1】如图，
AB
是半圆
O
的直径，
C
，
D
是半圆
O
上不同于
A
，
B
的两点，
AD
＝
BC
，
AC
与
BD
相交于点
F
．
BE
是半圆
O
所在圆的切线，与
AC
的延长线相交于点
E
．
（1）求证：△
CBA
≌△
DAB
；
（2）若
BE
＝
BF
，求证：
AC
平分∠
DAB
．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠
ACB
＝∠
ADB
＝90°，根据全等三角形的判定
定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠
E
＝∠
BFE
，根据切线的性质得到∠
ABE
＝90°，
根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵
AB
是半圆
O
的直径，
∴∠
ACB
＝∠
ADB
＝90°，
在 Rt△
CBA
与 Rt△
DAB
中， ，
∴Rt△
CBA
≌Rt△
DAB
（
HL
）；
（2）解：∵
BE
＝
BF
，由（1）知
BC
⊥
EF
，
∴∠
E
＝∠
BFE
，
∵
BE
是半圆
O
所在圆的切线，
∴∠
ABE
＝90°，
∴∠
E
+∠
BAE
＝90°，
由（1）知∠
D
＝90°，
∴∠
DAF
+∠
AFD
＝90°，
∵∠
AFD
＝∠
BFE
，
∴∠
AFD
＝∠
E
，
∴∠
DAF
＝90°﹣∠
AFD
，∠
BAF
＝90°﹣∠
E
，
∴∠
DAF
＝∠
BAF
，
∴
AC
平分∠
DAB
．
【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的
1
识别图形是解题的关键．
【典例 2】如图， 为 的直径， 为 延长线上一点， 是 的切线，
为切点， 于点 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）连接 OD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AOF＝
∠B，根据切线的性质得到∠CDO＝90°，等量代换即可得到结论；
（2）根据三角形中位线定理得到 OE＝ BD＝ ×8＝4，设 OD＝x，OC＝3x，根据相
似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）连接 OD，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵OF⊥AD，
∴OF∥BD，
2
∴∠AOF＝∠B，
∵CD 是⊙O 的切线，D 为切点，
∴∠CDO＝90°，
∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°，
∴∠CDA＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠AOF＝∠ADC；
（2）∵OF∥BD，AO＝OB，
∴AE＝DE，
∴OE＝ BD＝ ×8＝4，
∵sinC＝ ＝ ，
∴设 OD＝x，OC＝3x，
∴OB＝x，
∴CB＝4x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴ ，
∴ ，
∴OF＝6，
∴EF＝OF OE−＝6 4−＝2．
【点睛】
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的
判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【典例 3】如图， 与 相切于点 ， 交 于点 ， 的延长线交
3
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