《中考数学二轮复习重难题型突破》类型二 与动点有关的探究题（原卷版）

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类型二 与动点有关的探究题
【典例 1】【问题情境】
已知 Rt△
ABC
中，∠
BAC
＝90°，
AB
＝
AC
，点
E
是线段
AC
上的一个动点(不与
A
、
C
重
合)，以
CE
为一边作 Rt△
DCE
，使∠
DCE
＝90°，且
CD
＝
CA
.沿
CA
方向平移△
CDE
，使点
C
移动到点
A
，得到△
ABF
.过点
F
作
FG
⊥
BC
，交线段
BC
于点
G
，连接
DG
、
EG
.
【深入探究】
(1)如图①，当点
E
在线段
AC
上时，小文猜想
GC
＝
GF
，请你帮他证明这一结论；
(2)如图②，当点
E
在线段
AC
的延长线上，且
CE
＜
CA
时，猜想线段
DG
与
EG
的数量关
系和位置关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】
(3)如图③，将(2)中的“
CE
＜
CA
”改为“
CE
＞
CA
”，若设∠
CDE
＝
α
，请用含
α
的式
子表示∠
CGE
的度数(直接回答即可，不必证明)．
第 1 题图
【典例 2】综合与探究
1
如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交
于点 ．直线 与抛物线交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ．
（1）请直接写出 ， 两点的坐标及直线 的函数表达式；
（2）若点 是抛物线上的点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴，垂足
为 ． 与直线 交于点 ，当点 是线段 的三等分点时，求点 的坐标；
（3）若点 是 轴上的点，且 ，求点 的坐标．
2
【典例 3】如图，△
ABC
中，
AB
＝
BC
，
BD
⊥
AC
于点
D
，∠
FAC
＝∠
ABC
，且∠
FAC
在
AC
下
方，点
P
，
Q
分别是射线
BD
，射线
AF
上的动点，且点
P
不与点
B
重合，点
Q
不与点
A
重合，
连接
CQ
，过点
P
作
PE
⊥
CQ
于点
E
，连接
DE
.
(1)若∠
ABC
＝60°，
BP
＝
AQ
.
①如图①，当点
P
在线段
BD
上运动时，请直接写出线段
DE
和线段
AQ
的数量关系和位
置关系；
②如图②，当点
P
运动到线段
BD
的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明
理由；
(2)若∠
ABC
＝2
α
≠60°，请直接写出当线段
BP
和线段
AQ
满足什么数量关系时，能使
(1)中①的结论仍然成立(用含
α
的三角函数表示)．
【典例 4】如图，等边△
ABC
中，点
D
，
E
，
F
分别为边
AB
，
AC
，
BC
的中点，
M
为直线
BC
上一动点，△
DMN
为等边三角形．
3
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