《中考数学二轮复习重难题型突破》类型二 与动点有关的探究题（解析版）

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类型二 与动点有关的探究题
【典例 1】【问题情境】
已知 Rt△
ABC
中，∠
BAC
＝90°，
AB
＝
AC
，点
E
是线段
AC
上的一个动点(不与
A
、
C
重
合)，以
CE
为一边作 Rt△
DCE
，使∠
DCE
＝90°，且
CD
＝
CA
.沿
CA
方向平移△
CDE
，使点
C
移动到点
A
，得到△
ABF
.过点
F
作
FG
⊥
BC
，交线段
BC
于点
G
，连接
DG
、
EG
.
【深入探究】
(1)如图①，当点
E
在线段
AC
上时，小文猜想
GC
＝
GF
，请你帮他证明这一结论；
(2)如图②，当点
E
在线段
AC
的延长线上，且
CE
＜
CA
时，猜想线段
DG
与
EG
的数量关
系和位置关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】
(3)如图③，将(2)中的“
CE
＜
CA
”改为“
CE
＞
CA
”，若设∠
CDE
＝
α
，请用含
α
的式
子表示∠
CGE
的度数(直接回答即可，不必证明)．
第 1 题图
【答案】(1)证明：∵在 Rt△
BAC
中，∠
BAC
＝90°，
AB
＝
AC
，
∴∠
BCA
＝∠
ABC
＝45°，
∵
FG
⊥
BC
，
∴∠
FGC
＝90°，∴∠
GFC
＝90°－∠
GCF
＝45°，
∴∠
GFC
＝∠
GCF
，
∴
GC
＝
GF
；
(2)解：
DG
＝
EG
，
DG
⊥
EG
；
证明：同(1)可证
GC
＝
GF
，
∵∠
DCE
＝90°，∠
BCA
＝45°，
∴∠
DCG
＝45°，
∵∠
GFC
＝45°，
∴∠
DCG
＝∠
EFG
，
∵△
CDE
平移得到△
ABF
，
∴
CE
＝
AF
，∴
CE
＋
CF
＝
AF
＋
CF
，即
EF
＝
AC
，
∵
AC
＝
CD
，∴
EF
＝
CD
，∴△
DCG
≌△
EFG
(SAS)，
∴
DG
＝
EG
，∠
DGC
＝∠
EGF
，
∴∠
DGC
－∠
EGC
＝∠
EGF
－∠
EGC
，
即∠
DGE
＝∠
CGF
＝90°，
∴
DG
⊥
EG
；
(3)解：∠
CGE
＝180°－
α
.
【典例 2】综合与探究
如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交
于点 ．直线 与抛物线交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ．
（1）请直接写出 ， 两点的坐标及直线 的函数表达式；
（2）若点 是抛物线上的点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴，垂足
为 ． 与直线 交于点 ，当点 是线段 的三等分点时，求点 的坐标；
（3）若点 是 轴上的点，且 ，求点 的坐标．
【答案】（1） ， ，直线 的函数表达式为： ；（2）当点
是线段 的三等分点时，点 的坐标为 或 ；（3）点 的坐标为
或 ．
【解析】
【分析】
（1）令 可得 两点的坐标，把 的坐标代入一次函数解析式可得
的解析式；
（2）根据题意画出图形，分别表示 三点的坐标，求解 的长度，分
两种情况讨论即可得到答案；
（3）根据题意画出图形，分情况讨论：①如图，当点 在 轴正半轴上时，记为点 ．
过点 作 直线 ，垂足为 ．再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合
勾股定理可得答案，②如图，当点 在 轴负半轴上时，记为点 ．过点 作 直
线 ，垂足为 ，再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案．
【详解】
解：（1）令
， ，
设直线 的函数表达式为： ，
把 代入得：
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