《中考数学二轮复习重难题型突破》类型二 阶梯费用类问题（解析版）

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类型二阶梯费用类问题
【典例 1】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件 3 元，根据市场调查
发现，该商品每周的销售量 y（件）与售价 x（元件）（x 为正整数）之间满足一次函数关
系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件） 4 5 6
y（件） 10000 9500 9000
（1）求 y 与 x 的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于 15 元/件．若某一周该商品
的销售量不少于 6000 件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少
元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于 15 元/件时，每销售一件商品便向某慈善
机构捐赠 m 元（ ），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增
大而增大．请直接写出 m 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为 54000 元，售价为 12 元；
（3） ．
【解析】
【分析】
（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b，代入表中的数据求解即可；
（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为 w，根据总利润=单件利润×销售量
列出函数关系式求最大值，注意 x 的取值范围；
（3）写出 w 关于 x 的函数关系式，根据当 x≤15 时，利润仍随售价的增大而增大，可
得 ，求解即可．
【详解】
解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b，
代入（4，10000），（5，9500）可得： ，
1
解得： ，
即 y 与 x 的函数关系式为 ；
（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为 w，
根据题意可得： ，
解得： ，
∵ ，
∴当 x=12 时，w 有最大值，w=54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为 54000 元，售价为 12 元．
（3）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为 w，
当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠 m 元时，
由题意，当 x≤15 时，利润仍随售价的增大而增大，
可得： ，解得：m≥3，
∵
∴
故 m 的取值范围为： ．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用——最大利润问题，解题的关键是根据题意列出函数关
系式，通过配方法找到最大值．
【典例 2】 (2020 宁波 10 分)A,B 两地相距 200 千米.早上 8:00 货车甲从 A 地出发将
2
一批物资运往 B 地,行驶一段路程后 出现故障，即刻停车与 B 地联系. B 地
收到消息后立即派货车乙从 B 地出发去接运甲车上的物资.货车乙遇到甲
后,用了 18 分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上,随后开往 B 地两辆货车
离开各自出发地的路程 y(千米)与时间 x(小时)的函数关系如图所示，(通
话等其他时间忽略不计)
(1)求货车乙在遇到货车甲前,它离开出发地的路程)关于 x 的函数表达式;
(2)因实际需要，要求货车乙到达 B 地的时间比货车甲按原来的速度正常
到达 B 地的时间最多晚 1 个小时,间货车乙返回 B 地的速度至少为每小时
多少千米?
【答案】
（1）y=80x-128(1.6≤x≤3.1)（2）至少需要 75 千米/小时
【解析】
（1）设函数表达式为 y=kx+b(k≠0)
把(1.6, 0)，(2.6, 80)代入 y=kx+b, 得
解得
∴y 关于 x 的函数表达式为 y=80x- 128;
由图可知200-80=120 (千米)，120 80=1.5 (➗小时)，1.6+1.5=3.1 (小时) ,
∴x 的取值范围是 1.6≤x≤3.1.
∴货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程 y 关于 x 的函数表达式为 y=80x-128
(1.6≤x≤3.1) ;
(2)当 y=200-80=120 时,
120=80x-128 ,
解得 x=3.1,
由图可知，甲的速度为 (千米/小时) ,货车甲正常到达 B 地的时间为：
3
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