《中考数学二轮复习重难题型突破》类型二 二次函数与线段有关的问题(解析版)

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类型一二次函数与线段问题
【典例 1】已知抛物线 y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交 x 轴于点 A(6，0)和点 B(－1，0)，交
y 轴于点 C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的动点，过点 P 分别作 x 轴，y 轴
的平行线，交直线 AC 于点 D，E，当 PD＋PE 取最大值时，求点 P 的坐标；
（3）如图（2），点 M 为抛物线对称轴 l 上一点，点 N 为抛物线上一点，当直线 AC 垂
直平分△AMN 的边 MN 时，求点 N 的坐标．
【答案】（1）y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为( ， )；（2）P(3，12)；（3）(
， )或( ， )
【解析】
【分析】
（1）将点 A，B 坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；
（2）先求出 OA=OC=6，进而得出∠OAC=45°，进而判断出 PD=PE，即可得出当 PE 的长度最
大时，PE+PD 取最大值，设出点 E 坐标，表示出点 P 坐标，建立 PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，
即可得出结论；
（3）先判断出 NF∥x 轴，进而求出点 N 的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．
【详解】
1
解：（1）∵抛物线 y＝ax2＋bx＋6 经过点 A（6，0），B（－1，0），
∴
解得 a＝－1，b＝5，
∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋5x＋6．
∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x )2＋ ，
∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（ ， ）．
（2）由（1）知，抛物线的解析式为 y＝－x2＋5x＋6，
∴C（0，6），∴OC＝6．
∵A（6，0），
∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°．
∵PD 平行于 x 轴，PE 平行于 y 轴，
∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，
∴∠PED＝45°，
∴∠PDE＝∠PED，
∴PD＝PE，
∴PD＋PE＝2PE，
∴当 PE 的长度最大时，PE＋PD 取最大值．
设直线 AC 的函数关系式为 y＝kx＋d，
把 A（6，0），C（0，6）代入得
解得 k＝－1，d＝6，
∴直线 AC 的解析式为 y＝－x＋6．
设 E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则 P（t，－t2＋5t＋6），
∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9．
∵－1＜0，∴当 t＝3 时，PE 最大，此时－t2＋5t＋6＝12，
∴P（3，12）．
（3）如答图，设直线 AC 与抛物线的对称轴 l 的交点为 F，连接 NF．
∵点 F 在线段 MN 的垂直平分线 AC 上，
2
∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC．
∵l∥y 轴，
∴∠MFC＝∠OCA＝45°，
∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，
∴NF∥x 轴．
由（2）知直线 AC 的解析式为 y＝－x＋6，
当 x＝ 时，y＝ ，
∴F（ ， ），
∴点 N 的纵坐标为 ．
∵点 N 在抛物线上，
∴－x2＋5x＋6＝ ，解得，x1＝ 或 x2＝ ，
∴点 N 的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出
PD=PE，（3）中 NF∥x 轴是解本题的关键．
3
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