《中考数学二轮复习重难题型突破》类型八 其他探究题（原卷版）

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类型八 其他探究题
【典例 1】小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图
（2）的平面图形， 与 恰好为对顶角， ，连接 ，
，点
F
是线段 上一点．
探究发现：
（1）当点
F
为线段 的中点时，连接 （如图（2），小明经过探究，得到结论：
．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若 ，则点
F
为线段 的中点．请判
断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若 ，求 的长．
1
【典例 2】如图，在菱形
ABCD
中，
AB
＝
AC
，点
E
，
F
，
G
分别在边
BC
，
CD
上，
BE
＝
CG
，
AF
平分∠
EAG
，点
H
是线段
AF
上一动点（与点
A
不重合）．
（1）求证：△
AEH
≌△
AGH
；
（2）当
AB
＝12，
BE
＝4 时．
①求△
DGH
周长的最小值；
②若点
O
是
AC
的中点，是否存在直线
OH
将△
ACE
分成三角形和四边形两部分，其中三
角形的面积与四边形的面积比为 1：3．若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理
由．
2
【典例 3】综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线
y
＝
x
2+
bx
+
c
经过点
A
（﹣4，0），点
M
为抛物线的顶点，
点
B
在
y
轴上，且
OA
＝
OB
，直线
AB
与抛物线在第一象限交于点
C
（2，6），如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线
AB
的函数解析式为　　，点
M
的坐标为　　，cos∠
ABO
＝　　；
连接
OC
，若过点
O
的直线交线段
AC
于点
P
，将△
AOC
的面积分成 1：2 的两部分，则点
P
的坐标为　　；
（3）在
y
轴上找一点
Q
，使得△
AMQ
的周长最小．具体作法如图②，作点
A
关于
y
轴的
对称点
A
'，连接
MA
'交
y
轴于点
Q
，连接
AM
、
AQ
，此时△
AMQ
的周长最小．请求出点
Q
的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点
N
，使以点
A
、
O
、
C
、
N
为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出点
N
的坐标；若不存在，请说明理由．
3
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