《中考数学二轮复习重难题型突破》类型八 二次函数与平行四边形有关的问题（解析版）
类型八二次函数与平行四边形有关的问题
【典例 1】已知抛物线
y
＝
ax
2+
bx
+
c
（
a
≠0）与
x
轴交于
A
、
B
两点（点
A
在点
B
的左边），
与
y
轴交于点
C
（0，﹣3），顶点
D
的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在
y
轴上找一点
E
，使得△
EAC
为等腰三角形，请直接写出点
E
的坐标．
（3）点
P
是
x
轴上的动点，点
Q
是抛物线上的动点，是否存在点
P
、
Q
，使得以点
P
、
Q
、
B
、
D
为顶点，
BD
为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点
P
、
Q
坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】（1）
yx
2﹣2
x
﹣3；（2）满足条件的点
E
的坐标为（0，3）、（0，﹣3+ ）、
（0，﹣3﹣ ）、（0，﹣ ）；（3）存在，
P
（﹣1+2 ，0）、
Q
（1+2 ，4）或
P
（﹣1﹣2 ，0）、
Q
（1﹣2 ，4）．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点
C
坐标代入求解，即可得出结论；
（2）先求出点
A
，
C
坐标，设出点
E
坐标，表示出
AE
，
CE
，
AC
，再分三种情况建立方程求
解即可；
（3）利用平移先确定出点
Q
的纵坐标，代入抛物线解析式求出点
Q
的横坐标，即可得出结
论．
【详解】
解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为
y
＝
a
（
x
﹣1）2﹣4，
1
将点
C
（0，﹣3）代入抛物线
y
＝
a
（
x
﹣1）2﹣4 中，得
a
﹣4＝﹣3，
∴
a
＝1，
∴抛物线的解析式为
y
＝
a
（
x
﹣1）2﹣4＝
x
2﹣2
x
﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为
y
＝
x
2﹣2
x
﹣3，
令
y
＝0，则
x
2﹣2
x
﹣3＝0，
∴
x
＝﹣1 或
x
＝3，
∴
B
（3，0），
A
（﹣1，0），
令
x
＝0，则
y
＝﹣3，
∴
C
（0，﹣3），
∴
AC
＝ ，
设点
E
（0，
m
），则
AE
＝ ，
CE
＝|
m
+3|，
∵△
ACE
是等腰三角形，
∴①当
AC
＝
AE
时， ＝ ，
∴
m
＝3 或
m
＝﹣3（点
C
的纵坐标，舍去），
∴
E
（3，0），
②当
AC
＝
CE
时， ＝|
m
+3|，
∴
m
＝﹣3± ，
∴
E
（0，﹣3+ ）或（0，﹣3﹣ ），
③当
AE
＝
CE
时， ＝|
m
+3|，
∴
m
＝﹣ ，
∴
E
（0，﹣ ），
即满足条件的点
E
的坐标为（0，3）、（0，﹣3+ ）、（0，﹣3﹣ ）、（0，﹣
2
）；
（3）如图，存在，∵
D
（1，﹣4），
∴将线段
BD
向上平移 4 个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点
B
的对应点落在
抛物线上，这样便存在点
Q
，此时点
D
的对应点就是点
P
，
∴点
Q
的纵坐标为 4，
设
Q
（
t
，4），
将点
Q
的坐标代入抛物线
y
＝
x
2﹣2
x
﹣3 中得，
t
2﹣2
t
﹣3＝4，
∴
t
＝1+2 或
t
＝1﹣2 ，
∴
Q
（1+2 ，4）或（1﹣2 ，4），
分别过点
D
，
Q
作
x
轴的垂线，垂足分别为
F
，
G
，
∵抛物线
y
＝
x
2﹣2
x
﹣3 与
x
轴的右边的交点
B
的坐标为（3，0），且
D
（1，﹣4），
∴
FB
＝
PG
＝3﹣1＝2，
∴点
P
的横坐标为（1+2 ）﹣2＝﹣1+2 或（1﹣2 ）﹣2＝﹣1﹣2 ，
即
P
（﹣1+2 ，0）、
Q
（1+2 ，4）或
P
（﹣1﹣2 ，0）、
Q
（1﹣2 ，4）．
【点睛】
此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的
图象和性质是解题关键．
【典例 2】如图，抛物线 与直线 交于 两点，其中点 在
轴上，点 的坐标为 。点 是 轴右侧的抛物线上一动点，过点 作 轴
3
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