《中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练》（19）（解析版）

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中考数学二次函数压轴 300 题终极突破提升训练（19）
1．在平面直角坐标系中，直线 AB 与抛物线 y=ax2+bx+c 交于 A，B(点A在点 B的左侧)两点，点 C是该抛
物线上任意一点，过 C点作平行于 y轴的直线交 AB 于D，分别过点 A，B作直线 CD 的垂线，垂足分别为
点E，F．
特例感悟：
（1）已知：a=-2，b=4，c=6．
①如图①，当点 C的横坐标为 2，直线 AB 与x轴重合时，CD=____，|a|·AE·BF=___．
②如图②，当点 C的横坐标为 1，直线 AB//x 轴且过抛物线与 y轴的交点时，CD=_____，|a|
·AE·BF=_______．
③如图③，当点 C的横坐标为 2，直线 AB 的解析式为 y=x-3 时，CD=___，|a|·AE·BF=___．
猜想论证：
（2）由（1）中三种情况的结果，请你猜想在一般情况下 CD 与|a|·AE·BF 之间的数量关系，并证明你的猜
想．拓展应用．ffffff
（3）若 a=-1，点 A，B的横坐标分别为-4，2，点 C在直线 AB 的上方的抛物线上运动(点C不与点 A，B
重合)，在点 C的运动过程中，利用（2）中的结论求出△ACB 的最大面积．
【答案】（1）① 6，6；② 2，2；③ 7，7；（2） ，见解析；（3）27
【分析】
(1)① 求得点 A、
B、
C的坐标，得到点 E、
D、
F三点重合，即可求得 CD 的长以及|a|·AE·BF 的值；
②求得点 A、B、C的坐标，得到点 E、D、F三点重合，即可求得 CD 的长以及|a|·AE·BF 的值；
③解方程组求得点 A、B的坐标，再求得点 C、D的坐标，即可求得 CD 的长以及|a|·AE·BF 的值；
1
(2)利用参数法，设 A、B、C三横坐标分别为： ，直线 AB 的解析式为 ，根据一元二次
方程根与的关系，求得|a|·AE·BF ，再利用两点之间距离公式求得 CD
，即可证明；
(3)设点 C的横坐标为 ，△ACB 的面积为 S，根据 ，点 A，B的横坐标分别为-4，2，得到
， ， ，利用三角形面积公式即可得到关于 x的二次函数，利用
二次函数的最值即可求解．
【详解】(1)已知： ，则抛物线的解析式为 ，
①令 ，则 或 ,
∴点 A、B的坐标分别为 ，
∵点 C的横坐标为 2，
∴点 C的坐标为
∵直线 AB 与x轴重合，
∴点 E、D、F三点重合，
如图：
∴CD=6，
|a|·AE·BF= ；
2
②令 ，则 ,
∴点 A的坐标为
抛物线的对称轴为 ，
∵直线 AB//x 轴，
∴点 B的坐标分别为
∵点 C的横坐标为 1，
∴点 C的坐标为
∵直线 AB//x 轴，
∴点 E、D、F三点重合，
如图：
∴CD=8-6=2，
|a|·AE·BF= ；
③解方程组 得： 或 ，
∴点 A、B的坐标分别为 ，
∵点 C的横坐标为 2，
∴点 C的坐标为
3
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