《中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练》（18）（解析版）

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中考数学二次函数压轴 300 题终极突破提升训练（18）

1．已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于、两点（点在点的左侧），

与轴交于点．

（1）直接写出点的坐标为________；

（2）如图，若、两点在原点的两侧，且，四边形为正方形，其中顶点、在

轴上，、位于抛物线上，求点的坐标；

（3）若线段，点为反比例函数与抛物线在第一象限内的交点，设

的横坐标为，当时，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】（1）把函数变形为顶点式即可求解；

（2）设 A（x1，0）， B（x2，0），易得 x1＋x2＝−2，又 OA＝3OB 得到−x1＝3x2，求出 x1，x2，得到

A，B坐标，将 B（1，0）代入抛物线求出 a，设 E（m，0），则，EN＝−（m2＋2m−3），

根据题意，得 2m＋2＝−（m2＋2m−3），解得 m的值即可求解；

（3）由线段 AB＝2，得 A（−2，0）， B（0，0）， a＝4，y＝4x2＋8x，当 1＜m＜3时，对于抛物线 y

＝4x2＋8x，y随x的增大而增大，对于反比例函数，y随x的增大而减小，当 x＝1时，双曲线在抛

物线上方，即＞4×12＋8×1，解得 k＞12，当 x＝3时，双曲线在抛物线下方，即＜4×32＋8×3，解得 k

＜180，所以 k的取值范围 12＜k＜180．

【详解】（1）∵y＝ax2＋2ax＋a−4＝a（x＋1）2−4，

∴P（−1，−4）；

故答案为：（−1，−4）；

（2）设点，

∵抛物线的对称轴为

∴

则

又

∴

得，

∴A（−3，0）， B（1，0），

把点代入得

解得

∴

设点坐标为，F（n,0）

∴ ，∴n=-m-2

∴ ，

根据题意得

解得，（舍去）

∴点的坐标为；

（3）∵ ，抛物线的对称轴为

所以，，

把（0，0）代入得，

解之得，，

∴ ，

当，对于抛物线来说，随增大而增大；

对于，随增大而减小，所以当时，双曲线在抛物线的上方，

即，解之得，

当时，双曲线位于抛物线的下方，即，解之得，

所以的取值范围为．

【点评】本题是函数综合题，熟练运用二次函数的图像与性质及反比例函数的性质是解题的关键．

2．如图，已知二次函数的图象与轴相交于两点（点在点的左边），与轴

交于点，点在二次函数的图像上，且 ∥ 轴．问线段 BC 上是否存在点 P，使△POC 为等腰三角

形；如果存在，求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由．

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