《中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练》（17）（解析版）

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中考数学二次函数压轴 300 题终极突破提升训练（17）
1．如图，已知抛物线 的顶点坐标为 ，且与 轴交于点 C，与 轴交
于A、B两点（点 A在点 B的右侧）．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）点 P是该抛物线上一动点，从点 C沿抛物线向点 A运动（点 P与A不重合），过点 P作PD∥ 轴，
交直线 AC 于点 D；作 PE∥x轴，交直线 AC 于点 E，以 PD，PE 为边的矩形 PEFD，问矩形 PEFD 周长是
否存在最大值？若存在，求出此时 P点的坐标及最大值；若不存在，请说明理由；
（3）在问题（2）的条件下，P点满足∠DAP=90°，且点 E在 轴上，点 F在抛物线上，问是否存在以
A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点 F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2−4x＋3（2）存在，当 P（ ，-），矩形 PEFD 周长最大值为 9（3）F1（2−
，1），F2（2＋ ，1）．
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的 C点坐
标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出 A点坐标，可知△AOC 是等腰直角三角形，再求出直线 AC 的解析式，由题意可知矩形 PEFD
为正方形，故矩形 PEFD 周长等于 4DP，设 P（x, x2−4x＋3）,再表示出 D点坐标及 DP 的长，根据二次函
数的性质即可求出最大值；
（3）根据∠DAP=90°，过 P点作 AP⊥AC 于抛物线的交点即为 P点，根据平行四边形的性质知：P、
F的纵
坐标互为相反数，可据此求出 F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出 F点的坐标．
【详解】（1）∵抛物线的顶点为（2，−1），
∴设抛物线的解析式为 y＝a（x−2）2−1，
1
将C（0，3）代入上式，得：
3＝a（0−2）2−1，a＝1；
∴y＝（x−2）2−1，即 y＝x2−4x＋3；
（2）令 y=0，即 x2−4x＋3=0
解得 x1=1,x2=3
∴A（3,0）
∴CO=AO
∴△AOC 是等腰直角三角形，∠CAO=45°
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k≠0），
把A（3,0）， C（0，3）代入得
解得
∴直线 AC 的解析式为 y=-x+3
∵PE∥x轴，
∴∠DPE=∠CAO=45°
∴∠EDP=90°-∠DPE=45°
∴DP=PE
故矩形 PEFD 为正方形，
设P（x, x2−4x＋3）,则D（x，-x+3）
∴DP=（-x+3）-（x2−4x＋3）=-x2+3x
∴矩形 PEFD 周长 C=4DP=-4x2+12x=-4(x2-3x)= -4(x- )2+9
故存在当 x= 时，即 P（ ，-），矩形 PEFD 周长最大值为 9；
2
（3）如图，过 P点作 AP⊥AC 于抛物线的交点即为 P点，此时∠DAP=90°，
∵直线 AC 的解析式为 y=-x+3
∴可设直线 AP 的解析为 y=x+p
把A（3,0）代入得 0=3+p
解得 p=-3
∴直线 AP 的解析为 y=x-3
联立
解得 x1=3,y=0 或x=2，y=-1
∴P（2,-1）
∵A、P、E、F为顶点的平行四边形
∴P、F的纵坐标互为相反数，
∴可设 F（x，1），代入抛物线可得 x2−4x＋3＝1，
解得 x1＝2− ，x2＝2＋ ；
∴符合条件的 F点有两个，
即F1（2− ，1）， F2（2＋ ，1）．
3
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