《中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练》（16）（解析版）

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中考数学二次函数压轴 300 题终极突破提升训练（16）

1．如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+c的图象经过点 A（3，3）、B（4，0）和原点 O，P为直线 OA 上方抛物

线上的一个动点．

（1）求直线 OA 及抛物线的解析式；

（2）过点 P作x轴的垂线，垂足为 D，并与直线 OA 交于点 C，当△PCO 为等腰三角形时，求 D的坐标；

（3）设 P关于对称轴的点为 Q，抛物线的顶点为 M，探索是否存在一点 P，使得△PQM 的面积为，如

果存在，求出 P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）直线 OA 的解析式为 y＝x，二次函数的解析式是 y＝﹣x2+4x；（2）D（）；（3）存

在，P（）或（）．

【分析】（1）设直线 OA 的解析式为 y1＝kx，把点 A坐标（3，3）代入得：k＝1，直线 OA 的解析式为 y＝

x；再设 y2＝ax（x−4），把点 A坐标（3，3）代入得：a＝−1，即可求解；

（2）P为直线 OA 上方抛物线上的一个动点，故 0＜m＜3．此时仅有 OC＝PC，CO＝OD＝m，

，解得，即可求解；

（3）M到直线 PQ 的距离为 4−（−n2＋4n）＝（n−2）2，要使△PQM 的面积为，则，

即，即可求解．

【详解】解：（1）设直线 OA 的解析式为 y1＝kx，

把点 A坐标（3，3）代入得：k＝1，

直线 OA 的解析式为 y＝x；

再设 y2＝ax（x4﹣），

把点 A坐标（3，3）代入得：a＝﹣1，

函数的解析式为 y＝﹣x2+4x，

∴直线 OA 的解析式为 y＝x，二次函数的解析式是 y＝﹣x2+4x．

（2）设 D的横坐标为 m，则 P的坐标为（m，﹣m2+4m），

∵P为直线 OA 上方抛物线上的一个动点，

∴0＜m＜3．

此时仅有 OC＝PC，CO＝=OD＝m，

∴ ，解得，

∴ ；

（3）函数的解析式为 y＝﹣x2+4x，

∴对称轴为 x＝2，顶点 M（2，4），

设P（n，﹣n2+4n），则点 P关于对称轴的对称点 Q（4﹣n，﹣n2+4n），

M到直线 PQ 的距离为 4﹣（﹣n2+4n）＝（n2﹣）2，

要使△PQM 的面积为，

则，即，

解得：或，

∴P（）或（）．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、绝对值的定义、面积的计算等，综合性强，

难度适中．

2．如图，抛物线：（，是常数）经过、两点.

（1）求，的值；

（2）向右平移抛物线，使它经过点，得抛物线，与轴的一个交点为，且在另一个交点的

左侧.

①求抛物线的表达式；

② 是点关于抛物线对称轴的对称点，是线段上一点，轴，交抛物线于点，

为垂足，设，线段的长为，求的值，使取得最大值．

【答案】（1），2；（2）① ，② 3

【分析】（1）将 A、B两点坐标代入即可求出，的值．

（2）将（1）中求得的抛物线的解析式化为顶点式，根据和关于轴轴对称，

即可求得解析式．

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