《中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练》（15）（解析版）

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中考数学二次函数压轴 300 题终极突破提升训练（15）
1．如图，二次函数 的图象交 轴于点 ，点 ，交 轴于点
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接 ，在直线 上方的抛物线上有一点 ，过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ，
设点 的横坐标为 ，线段 的长为 ，求 关于 的函数关系式；
（3）若点 在 轴上，是否存在点 ，使以 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写
出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y=-x2-x+2；（2）l=-n2-2n；（3）存在，（-1，0）或（1+ ，0）或（1- ，0）或（-，
0）．
【分析】（1）利用交点式求二次函数的解析式；
（2）设点 N（n，-n2-n+2），则点 F（n，n+2），l=-n2-n+2-（n+2）=-n2-2n；
（3）分 CB=CM、BC=BM、BM=CM 三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x轴于 A（-2，0），B（1，0），
设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），
把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），
a=-1，
∴y=-（x+2）（ x-1）=-x2-x+2，
故抛物线的表达式为：y=-x2-x+2；
（2）设直线 AC 的解析式为：y=kx+b，
1
把A（-2，0）、C（0，2）代入得： ，
解得： ，
∴直线 AC 的解析式为：y=x+2，
设点 N（n，-n2-n+2），则点 F（n，n+2），
l=-n2-n+2-（n+2）=-n2-2n；
（3）存在，分三种情况：
①如图2，当 BC=CM1时，M1（-1，0）；
②如图2，由勾股定理得：BC= ，
2
以B为圆心，以 BC 为半径画圆，交 x轴于 M2、M3，则 BC=BM2=BM3=，
此时，M2（1- ，0），M3（1+ ，0）；
③如图3，作 BC 的中垂线，交 x轴于 M4，连接 CM4，则 CM4=BM4，
设OM4=x，则 CM4=BM4=x+1，
由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x= ，
∵M4在x轴的负半轴上，
∴M4（-，0），
综上，点 M的坐标为：（-1，0）或（1+ ，0）或（1- ，0）或（-，0）．
【点评】此题考查二次函数综合题，二次函数的解析式．解题关键在于利用数形结合的思想把代数和几何图
形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2．如图，二次函数 的图像与坐标轴分别交于 、 、 三点，其中 ，点 在
轴正半轴上，连接 、 ．点 从点 出发，沿 向点 移动；同时点 从点 出发，沿 轴向点
3
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