《中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练》（13）（解析版）

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中考数学二次函数压轴 300 题终极突破提升训练（13）

1．如图，已知二次函数的图像与 x轴交于 A、

B两点，与 y轴交于点 C，其中点 A的坐

标为，对称轴是直线．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）如图，连接 AC，若点 P是该抛物线上一点，且，求点 P的坐标；

（3）如图，点 P是该抛物线上一点，点 Q为射线 CB 上一点，且 P、Q两点均在第四象限内，线段 AQ 与

BP 交于点 M，当，且△ABM 与△PQM 的面积相等时，请问线段 PQ 的长是否为定值？

如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）或；（3）线段 PQ 的长是定值，定值为 7

【分析】（1）由点 A的坐标为，对称轴是直线，即可得出方程组，解方程组即可求出二次函

数的表达式；

（2）设 P（x，），在 y轴上取点 D，，使 CD=CA，可求得 D（0，9），故

∠ACO=2∠ADO，故∠ADO=∠PAB，所以 tan∠ADO=tan∠PAB，列出方程，求出 x的值即可；

（3）连接 AP,由△ABM 与△PQM 的面积相等，可得△ABP 与△PQA 的面积相等，故 BQ∥AP，故

∠BQA=∠PAQ，∠PBQ=∠APB，由等腰三角形的判定可得 AM=PM,BM=QM，故 AQ=PB，根据 SAS 可

证△ABP≌△PQA，即可得出答案．

【详解】（1）∵点 A的坐标为，对称轴是直线．

∴

（2）设 P（x，），

当x=0 时，

∴C（0，4）

∵A(-3，0)C（0．4）

∴OA=4,OC=4

∴AC=5

在y轴上 C的上方取点 D，使 CD=CA=5，

∴OD=OC+CD=4+5=9

∴D（0，9），

连结 AD，

∵CD=CA=5，

∴∠DAC-∠ADC

∴∠ACO=2∠ADO，

∴∠ADO=∠PAB，

∴tan∠ADO=tan∠PAB，

∴ ，

∴

∴P（3，2）或（5，）

（3）线段 PQ 的长是定值，为 7．

连接 AP

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