《中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练》（10）（解析版）

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中考数学二次函数压轴 300 题终极突破提升训练（10）
1．已知抛物线 与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，抛物线的对称轴为直线 ， 为
顶点，点 关于直线 的对称点为 ．
（1）如图①，若点 是对称轴上的动点，当 取得最小值时，求点 的坐标．
（2）如图②，连接 ，点 是 轴上一动点，求 周长的最小值；
（3）如图③，点 是 轴上的动点，点 是 轴上的动点，是否存在点 、 ，使四边形 的
周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
1
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，
【分析】（1）如图①，连接 ，交抛物线对称轴于点 ，点 即为所求．
（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，连接 ，过点 作 轴于点 ，
求出 即可得到结论；
（3）利用轴对称求最短路线的方法，作点 D关于 y轴的对称点 ，作点 E关于 x轴的对称点 ，得出四
边形 DNME 的周长最小为： +DE，进而利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）如图①，连接 ，交抛物线对称轴于点 ，点 即为所求，连接 ．
∵抛物线 ，
∴ ， ，抛物线对称轴为直线 ．
∵点 ，点 关于直线 对称，
∴ ．
∴ ．
∴此时 取得最小值 ．
设直线 的解析式为：y=kx+b，则有 ，
2
解得， ，
所以，直线 的解析式 ．
当 时， ，
∴ ；
（2）如解图②，∵ 为定值，
∴当 的值最小时， 的周长最小．
作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，连接 ，过点 作 轴于点 ，
由抛物线解析式可知 ，
∴ ， ，
∴ ．
∵点 ， 关于 轴对称，
∴ ．
∴ ．
∴此时 取得最小值．
3
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