《中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练》（9）（解析版）

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中考数学二次函数压轴 300 题终极突破提升训练（9）
1．如图，抛物线 与坐标轴交于点 ,点 为抛物线上动点,
设点 的横坐标为 ．
（1）若点 与点 关于抛物线的对称轴对称,求 点的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点 在第四象限,连接 及 ,当 为何值时,的面积最大?最大面积是多少?
（3）是否存在点 ,使 为以 为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1） （2）当 时， 有最大值 ；（3）
【分析】（1）根据抛物线上的对称点 B和E，求出对称轴从而可求出 C点坐标．然后设出抛物线的交点式
再把点 A代入求出 a值即可求出抛物线的解析式；
（2）过点 P作y轴的平行线交 AE 于点 H，分别根据抛物线和直线 AE 的解析式表示出点 P和点 H的坐标，
从而求出线段 PH 的长，最后用含 t的式子表示 APE 的面积，利用二次函数的性质求解；
（3）根据两直线垂直时，它们的斜率之积为-1，可求得与直线 AE 垂直的直线方程，最后联立方程组可求
点P的坐标．
【详解】解：（1）抛物线 经过点
抛物线的对称轴为
点 点
1
抛物线表达式为
,解得
抛物线的表达式为
如图,过点 作 轴的平行线交 于点
由点 的坐标得直线 的表达式为
设点 ，则
当 时， 有最大值
直线 表达式中的 值为 ,则与之垂直的直线表达式中的 值为
① 当 时，
直线 的表达式为 将点 的坐标代人并解得 ,直线 的表达式为
联立得
解得 或 （不合题意，舍去）
故点 的坐标为
2
② 当 时，
直线 PA 的表达式为 将点 A的坐标代人并解得 ,直线 的表达式为
联立得
解得 或 0（不合题意，舍去）
故点
综上，点 的坐标为 或（1,-4)
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用
待定系数法求二次函数解析式；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质，记住两直线垂直时它们的斜率
之积为-1；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
2．如图，抛物线 y＝ax2+x+c交x轴于 A，B两点，交 y轴于点 C．直线 y＝﹣ x+3 经过点 B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P从点 O出发以每秒 2个单位的速度沿 OB 向点 B匀速运动，同时点 E从点 B出发以每秒 1个单位
的速度沿 BO 向终点 O匀速运动，当点 E到达终点 O时，点 P停止运动，设点 P运动的时间为 t秒，过点
P作x轴的垂线交直线 BC 于点 H，交抛物线于点 Q，过点 E作EF⊥BC 于点 F．
①当 PQ＝5EF 时，求出 t值；
②连接 CQ，当 S△CBQ：S△BHQ＝5：2时，请直接写出点 Q的坐标．
【答案】（1） ；（2）① 或 ；②点 Q(，)或(，)．
3
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