《中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练》（7）（解析版）

3.0 envi 2025-04-23 4 4 2.77MB 48 页 3知币
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中考数学二次函数压轴 300 题终极突破提升训练（7）
1．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）经过 A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）
三点，连接 BC 并延长．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 M是直线 BC 在第一象限部分上的一个动点，过 M作MN∥y轴交抛物线于点 N．
①求线段 MN 的最大值；
②当 MN 取最大值时，在线段 MN 右侧的抛物线上有一个动点 P，连接 PM、
PN，当△PMN 的外接圆圆心 Q
在△PMN 的边上时，求点 P的坐标．
【答案】（1）y＝x24﹣x+3；（2）① ；②点 P的坐标为（ ， ）或（ ， ）
【分析】（1）将三个已知点坐标代入抛物线的解析式中列出方程组求得 a、
b、
c，便可得抛物线的解析式；
（2）①用待定系数法求出直线 BC 的解析式，再设 M的横坐标为 t，用 t表示 MN 的距离，再根据二次函
数的性质求得 MN 的最大值；
② 分三种情况：当∠PMN=90°时；当∠PNM=90°时；当∠MPN=90°时．分别求出符合条件的 P点坐标便
可．
【详解】解：（1）把 A、B、C三点的坐标代入抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得
，
1
解得， ，
∴抛物线的解析式为：y＝x24x+3﹣；
（2）1°设直线 BC 的解析式为 y＝mx+n（m≠0），则
，
解得， ，
∴直线 BC 的解析式为：y＝﹣x+3，
设M（t，﹣t+3）（ 0＜t＜3），则 N（t，t24t+3﹣），
∴MN＝﹣t2+3t＝﹣ ，
∴当 t＝ 时，MN 的值最大，其最大值为 ；
2°∵△PMN 的外接圆圆心 Q在△PMN 的边上，
∴△PMN 为直角三角形，
由1°知，当 MN 取最大值时，M（ ， ）， N（ ， ），
①当∠PMN＝90°时，PM∥x轴，则 P点与 M点的纵坐标相等，
∴P点的纵坐标为 ，
当y＝ 时，y＝x24x+3﹣＝ ，
解得，x＝ ，或 x＝ （舍去），
∴P（ ）；
2
②当∠PNM＝90°时，PN∥x轴，则 P点与 N点的纵坐标相等，
∴P点的纵坐标为﹣ ，
当y＝﹣ 时，y＝x24x+3﹣＝﹣ ，
解得，x＝ ，或 x＝ （舍去），
∴P（ ）；
③当∠MPN＝90°时，则 MN 为△PMN 的外接圆的直径，
∴△PMN 的外接圆的圆心 Q为MN 的中点，
∴Q（ ），半径为 ，
过Q作QK∥x轴，与在 MN 右边的抛物线图象交于点 K，如图②，
令y＝ ，得 y＝x24x+3﹣＝ ，
解得，x＝<（舍），或 x＝ ，
∴K（ ， ），
3
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