《中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练》（6）（解析版）

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中考数学二次函数压轴 300 题终极突破提升训练（6）
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于 A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-4）三点，
点P是直线 BC 下方抛物线上的一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点 P，使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明
理由；
（3）动点 P运动到什么位置时，四边形 PBOC 面积最大？求出此时点 P坐标和四边形 PBOC 的最大面积．
【答案】（1） ；（2）存在满足条件的 P点，其坐标为 ；（3）16．
【分析】（1）由 A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由题意可知点 P在线段 OC 的垂直平分线上，则可求得 P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得 P点坐
标；
（3）过 P作PE⊥x轴，交 x轴于点 E，交直线 BC 于点 F，用 P点坐标可表示出 PF 的长，则可表示出四边
形PBOC 的面积，利用二次函数的性质可求得四边形 PBOC 面积的最大值及 P点的坐标
【详解】解：（1）设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得
1
，
解得 ，
∴抛物线解析式为 y=x2-3x-4；
（2）作 OC 的垂直平分线 DP，交 OC 于点 D，交 BC 下方抛物线于点 P，如图 2，
∴PO=PC，此时 P点即为满足条件的点，
∵C（0，-4），
∴D（0，-2），
∴P点纵坐标为-2，
代入抛物线解析式可得 x2-3x-4=-2，解得 x= （小于 0，舍去）或 x= ，
∴存在满足条件的 P点，其坐标为（ ，-2）．
2
（3）∵点 P在抛物线上，
∴可设 P（t，t2-3t-4），
过P作PE⊥x轴于点 E，交直线 BC 于点 F，如图 1，
∵B（4，0）， C（0，-4），
∴直线 BC 解析式为 y=x-4，
∴F（t，t-4），
∴PF=（t-4）-（t2-3t-4）=-t2+4t，
∴ =
= PF•OE+ PF•BE+ ×OC•BO= PF(OE+BE)+ ×4×4
= PF•OB+8= （-t2+4t）×4+8=-2（t-2）2+16，
∴当 t=2 时， 最大值为 16，此时 t2-3t-4=-6，
∴当 P点坐标为（2，-6）时，四边形 PBOC 的最大面积为 16．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．
在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出 P点的位置是解题的关键，在（3）中用 P点坐标表示
出四边形 PBOC 的面积是解题的关键．
2．已知抛物线
3
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