《中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练》（4）（解析版）

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中考数学二次函数压轴 300 题终极突破提升训练（4）
1．如图已知抛物线 与 x轴交于 ， 两点与 y轴交于 C点，点 P是抛物线上
在第一象限内的一个动点，且点 P的横坐标为 t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，连接 BC，PB，PC，设 的面积为 S．
①求 S关于 t的函数表达式；
②求 P点到直线 BC 的距离的最大值，并求出此时点 P的坐标．
【答案】（1） ；（2）① ；②最大值 ，此时 P坐标
【分析】（1）由点 A、B坐标，利用待定系数法求解抛物线的表达式即可；
（2）①过点 P作PH⊥x轴于 H，设点 P坐标为(t，)，由 即
可表示出 S关于 t的函数表达式；
②由于 BC 为定值，所以点 P到直线 BC 的距离最大时即为 S最大，根据二次函数的性质求出 S的最大值，
利用勾股定理求出线段 BC 的长，再利用等面积法求出点 P到直线 BC 的距离的最大值，进而可求出此时的
点P坐标．
【详解】解：（1）将点 A（﹣1，0）、B（3，0）代入 中，
得： ，解得： ，
∴，抛物线的表达式为 ；
1
（2）①过点 P作PH⊥x轴于 H，如图，
当x=0 时，y=3，∴C（0，3）， OC=3，
∵点 P的坐标为（t， ）且点 P在第一象限，
∴PH= ，OH=t，BH=3 t﹣，
∴
=
=，
∴S关于 t的函数关系式为 S= (t＞0)；
②由 S= = ，且 ＜0，得：
当t= 时，S有最大值，最大值为 ，
∵OB=3，OC=3，
∴BC= ，
∵当 t= 时， =
2
∴点 P到直线 BC 的距离的最大值为 ，此时，点 P的坐标为（ ， ）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形
的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推
理、探究和计算．
2．如图，直线 与 x轴，y轴分别相交于 A,B 两点，抛物线 经过
点B．
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)连结 BD,以AB,BD 为一组邻边的平行四边形 ABDE,顶点 E是否在抛物线上？
(3)已知点 M是抛物线上的一个动点，并且点 M在第一象限内，连接 AM、BM，设点 M横坐标为
m,△ABM 的面积为 S，求 S与m的函数表达式，并求出 S的最大值．
【答案】
(1) ，顶点坐标为（1，4）；(2)不在，理由见解析；(3)S= ，S的最大
值为： ．
【分析】（1）求出 A、B两点坐标，把 B点坐标代入抛物线的解析式即可解决问题．
（2）首先求出 BD 和BD 所在直线解析式，再过 A作 交抛物线于点 F，联立方程组
求出点 F的坐标，进而得出 AF 的长，从而可判断出 AF 和BD 的关系，故可得结；
3
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