《中考数学第二轮重难题型突破》题型七 综合实践题

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题型七 综合实践题
例1．【问题情境】
已知 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 E是线段 AC 上的一个动点(不与 A、C重合)，以 CE 为一边作 Rt△DCE，
使∠DCE＝90°，且 CD＝CA.沿CA 方向平移△CDE，使点 C移动到点 A，得到△ABF.过点 F作FG⊥BC，交线段 BC 于点
G，连接 DG、EG.
【深入探究】
(1)如图①，当点 E在线段 AC 上时，小文猜想 GC＝GF，请你帮他证明这一结论；
(2)如图②，当点 E在线段 AC 的延长线上，且 CE＜CA 时，猜想线段 DG 与EG 的数量关系和位置关系，并证明你的猜
想；
【拓展应用】
(3)如图③，将(2)中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”，若设∠CDE＝α，请用含 α的式子表示∠CGE 的度数(直接回答即可，
不必证明)．
第1题图
【答案】(1)证明：∵在 Rt△BAC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BCA＝∠ABC＝45°，
∵FG⊥BC，
∴∠FGC＝90°，∴∠GFC＝90°－∠GCF＝45°，
∴∠GFC＝∠GCF，
∴GC＝GF；
(2)解：DG＝EG，DG⊥EG；
证明：同(1)可证 GC＝GF，
∵∠DCE＝90°，∠BCA＝45°，
∴∠DCG＝45°，
∵∠GFC＝45°，
∴∠DCG＝∠EFG，
∵△CDE 平移得到△ABF，
∴CE＝AF，∴CE＋CF＝AF＋CF，即 EF＝AC，
∵AC＝CD，∴EF＝CD，∴△DCG≌△EFG(SAS)，
1
∴DG＝EG，∠DGC＝∠EGF，
∴∠DGC－∠EGC＝∠EGF－∠EGC，
即∠DGE＝∠CGF＝90°，
∴DG⊥EG；
(3)解：∠CGE＝180°－α.
例2．在正方形 ABCD 中，BD 是一条对角线，点 P在直线 CD 上(不与点 C、D重合)，连接 AP，平移△ADP，使点 D
移动到点 C，得到△BCQ，过点 Q作QH⊥BD 于H，连接 AH，PH.
【问题发现】
(1)如图①，若点 P在线段 CD 上，AH 与PH 的数量关系是________，位置关系是________；
【拓展探究】
(2)如图②，若点 P在线段 CD 的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说
明理由；
【解决问题】
(3)若点 P在线段 DC 的延长线上，且∠AHQ＝120°，正方形 ABCD 的边长为 2，请直接写出 DP 的长度．
第2题图
【答案】解：(1)AH＝PH，AH⊥PH；
【解法提示】如解图①，连接 HC，
第2题解图①
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BDC＝45°，
又∵QH⊥BD，
∴△DHQ 是等腰直角三角形，
∴HD＝HQ，∠HDP＝∠HQC＝45°，
由平移的性质可知 DP＝CQ，
在△HDP 和△HQC 中，，
2
∴△HDP≌△HQC.
∴HP＝HC，∠DHP＝∠QHC.
根据正方形是轴对称图形得到 HA＝HC，∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHP＝∠AHD＋∠DHP＝∠CHD＋∠QHC＝90°，即 AH⊥PH.
∴HA＝HP，AH⊥PH.
(2)(1)中的结论仍然成立，
理由如下：如解图②，连接 HC，
第2题解图②
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BDC＝45°，
又∵QH⊥BD，
∴△DHQ 是等腰直角三角形，∴∠HDP＝∠HQC＝135°，HD＝HQ，由平移的性质可知 DP＝CQ，
在△HDP 和△HQC 中，，
∴△HDP≌△HQC(SAS)，
∴HP＝HC，∠DHP＝∠QHC，
根据正方形是轴对称图形得到 HA＝HC，∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHP＝∠AHD－∠DHP＝∠CHD－∠CHQ＝90°，
∴HA＝HP，AH⊥PH；
(3)DP＝2.
【解法提示】由(1)知，AH＝PH，AH⊥PH，
∴∠HPA＝45°，
∵∠AHQ＝120°，
∴∠PHQ＝120°－90°＝30°.
∴∠PHD＝∠QHD－∠PHQ＝60°，∠AHB＝∠CHB＝∠AHP－∠PHD＝30°，
∴∠CHP＝∠CHB＝∠AHB＝30°，
∴∠CPH＝＝75°，
∴∠APD＝∠CPH－∠APH＝30°，在 Rt△ADP 中，AD＝2，
∴DP＝＝2.
例3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点 O为AB 中点，点 P为直线 BC 上的动点(不与点 B、点 C重
3
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