《中考数学第二轮重难题型突破》类型一 圆的基本性质证明与计算

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类型一 圆的基本性质证明与计算
命题点 1　垂径定理
例1、如图，CD 是⊙O的直径，AB 是弦(不是直径)，AB⊥CD 于点 E，则下列结论正确的是( )
A．AE>BE
B.AD＝BC
C．∠D＝∠AEC
D．△ADE∽△CBE
【答案】：D
命题点 2　圆周角定理
例2、如图，点 O为优弧AB所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点 D在AB 的延长线上，BD＝BC，则∠D______．
【答案】：27°
重难点 1　垂径定理及其应用
例3、已知 AB 是半径为 5的⊙O的直径，E是AB 上一点，且 BE＝2.
(1)如图 1，过点 E作直线 CD AB⊥，交⊙O于C，D两点，则 CD＝_______；
图1 　　 图2 　　 图3 　　图 4
探究：如图 2，连接 AD，过点 O作OF AD⊥于点 F，则 OF＝_____；
(2)过点 E作直线 CD 交⊙O于C，D两点．
①若∠AED＝30°，如图 3，则 CD＝__________；
②若∠AED＝45°，如图 4，则 CD＝___________．
【答案】：（1）8 , （2）
【思路点拨】　由于 CD 是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合
勾股定理，求出弦的一半，再求弦．
【变式训练 1】如图，点 A，B，C，D都在半径为 2的⊙O上．若 OA BC⊥，∠CDA＝30°，则弦 BC 的长为(
1
)
A．4 B．2 C. D．2
【答案】：D
【变式训练 2】　【分类讨论思想】已知⊙O的半径为 10 cm，AB，CD 是⊙O的两条弦，AB CD∥，AB＝16
cm，CD＝12 cm，则弦 AB 和CD 之间的距离是__________________
【答案】：2cm 或14cm
1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．
2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一
条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．
3．事实上，过点 E任作一条弦，只要确定弦与 AB 的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦
长．
重难点 2　圆周角定理及其推论
例3、已知⊙O是△ABC 的外接圆，且半径为 4.
(1)如图 1，若∠A＝30°，求 BC 的长；
(2)如图 2，若∠A＝45°：
①求 BC 的长；
②若点 C是AB的中点，求 AB 的长；
(3)如图 3，若∠A＝135°，求 BC 的长．
图1 图2 　　图 3
【答案】（1）4（2）4.,8（3）4.
【点拨】　连接 OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的 2倍，构建可解的等腰三角形求解．
【解析】　解：(1)连接 OB，OC.
∵∠BOC＝2 A∠＝60°，OB＝OC，∴△OBC 是等边三角形．
∴BC＝OB＝4.
2
(2)①连接OB，OC.
∵∠BOC＝2 A∠＝90°，OB＝OC，∴△OBC 是等腰直角三角形．
∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.
②∵点 C是AB的中点，∴∠ABC＝∠A＝45°.
∴∠ACB＝90°. AB∴是⊙O的直径．∴AB＝8.
(3)在优弧BC上任取一点 D，连接 BD，CD，连接 BO，CO.
∵∠A＝135°，∴∠D＝45°. BOC∴∠ ＝2 D∠＝90°.
∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.
【变式训练 3】　如图，BC 是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是( )
A．58° B．60° C．64° D．68°
【答案】：A
【变式训练 4】　将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 C在半圆上．点 A，B的读数分别为
88°，30°，则∠ACB 的大小为( )
A．15° B．28° C．29° D．34°
　　　　　
【答案】C
1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条
弧．
2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决．
3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补．
在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边．
注意同弧所对的圆心角是圆周角的 2倍，避免把数量关系弄颠倒．
重难点 3　圆内接四边形
例4、如图，四边形 ABCD 为⊙O的内接四边形．延长 AB 与DC 相交于点 G，AO CD⊥，垂足为 E，连接
BD，∠GBC＝50°，则∠DBC 的度数为( )
3
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