《中考数学第二轮重难题型突破》类型一 新定义型

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类型一 新定义型
例1、对任意一个三位数 n，如果 n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这
个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同
的新三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F(n)．例如 n＝123，对调百位与十
位上的数字得到 213，对调百位与个位上的数字得到 321，对调十位与个位上的数字得
到132，这三个新三位数的和为 213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以 F(123)＝6．
（1）计算：F(243)，F(617);
（2）若 s，t都是“相异数”，其中 s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正
整数），规定：k＝当 F(s)＋F(t)＝18 时，求 k的最大值．
【解答】解：(1)F(243)＝(423＋342＋234)÷111＝9；
F(617)＝(167＋716＋671)÷111＝14．
（2）∵s，t都是“相异数”，s＝100x＋32，t＝150＋y，
∴F(s)＝(302＋10x＋230＋x＋100x＋23)÷111＝x＋5，F(t)＝(510＋y＋100y＋51＋105＋
10y)÷111＝y＋6．
∵F(t)＋F(s)＝18，
∴x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18，
∴x＋y＝7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且 x，y都是正整数，
∴或或或或或．
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3．
∵t是“相异数”，
∴y≠1，y≠5．
∴或或，
∴或或，
∴k＝＝或 k＝＝1或k＝＝
∴k的最大值为．
例2、我们规定：形如 的函数叫做“奇特函数”.当
时，“奇特函数” 就是反比例函数 .
1
（1） 若矩形的两边长分别是 2和3，当这两边长分别增加 x和y后，得到的新矩形的面积
为8 ，求 y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；
（2） 如图，在平面直角坐标系中，点 O为原点，矩形 OABC 的顶点 A，C的坐标分别为
（9，0）、（0，3）．点 D是OA 的中点，连结 OB，CD 交于点 E，“奇特函数”
的图象经过 B，E两点.
①求这个“奇特函数”的解析式；
②把反比例函数 的图象向右平移 6个单位，再向上平移‹ ‹ ‹ ‹ ‹ 个单位就可得到①
中所得“奇特函数”的图象.过线段 BE 中点 M的一条直线 l与这个“奇特函数”的图象交
于P，Q两点，若以 B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为 ，请直接写出点 P的
坐标．
【解析】（1）根据题意，得 ，
∵ ，∴ .∴.
根据定义， 是 “奇特函数”.
（2）①由题意得， .
易得直线 OB 解析式为 ，直线 CD 解析式为 ，
由 解得 .∴点 E（3，1）.
2
将B（9，3），E（3，1）代入函数 ，得 ，整理得 ，
解得 .∴这个“奇特函数”的解析式为 .
②∵ 可化为 ，
∴根据平移的性质，把反比例函数 的图象向右平移 6个单位，再向上平移 2个单位
就可得到 .∴ 关于点（6，2）对称.
∵B（9，3），E（3，1），∴BE 中点 M（6，2），即点 M是 的对称中心.
∴以 B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形 BPEQ 或BQEP.
由勾股定理得， .
设点 P到EB 的距离为 m，
∵以 B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为 ，
∴.
∴点 P在平行于 EB 的直线 上.
∵点 P在 上，
∴或.
解得 .
∴点 P的坐标为 或 或 或 .
3
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