《中考数学第二轮重难题型突破》类型一 二次函数与线段问题（解析版）

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类型一 二次函数与线段问题
例 1、 如图 1-1，抛物线 y＝x2－2x－3与x轴交于 A、B两点，与 y轴交于点 C，点 P
是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC 的周长最小，求点 P的坐标．
图1-1
【解析】如图 1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点 A与点 B对称，连结 BC，那么在
△PBC 中，PB＋PC 总是大于 BC 的．如图 1-3，当点 P落在 BC 上时， PB＋PC 最小，因
此PA＋PC 最小，△ PAC 的周长也最小．
由y＝x2－2x－3，可知 OB＝OC＝3，OD＝1．所以 DB＝DP＝2，因此 P(1,－2)．
图1-2 图1-3
例 2、如图，抛物线 与 y轴交于点 A，B是OA 的中点．一个动点 G从
点B出发，先经过 x轴上的点 M，再经过抛物线对称轴上的点 N，然后返回到点 A．如果
动点 G走过的路程最短，请找出点 M、N的位置，并求最短路程．
图2-1
【解析】如图 2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点 A关于抛 物线的对称轴对称
的点 A′，作点 B关于 x轴对称的点 B′，连结 A′B′与x轴交于点 M，与抛物线的对称轴交于
1
点N．
在Rt△AA′B′中，AA′＝8，AB′＝6，所以 A′B′＝10，即点 G走过的最短路程为 10．根据
相似比可以计算得到 OM＝ ，MH＝ ，NH＝1．所以 M( , 0)，N(4, 1)．
图2-2
例 3、如图 3-1，抛物线 与 y轴交于点 A，顶点为 B．点 P是x轴上
的一个动点，求线段 PA 与PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求
出相应的点 P的坐标．
图3-1
【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PA－PB|的最小值与最大值．
由抛物线的解析式可以得到 A(0, 2)，B(3, 6)．设 P(x, 0)．
绝对值|PA－PB|的最小值当然是 0了，此时 PA＝PB，点 P在AB 的垂直平分线上（如
图3-2）．解方程 x2＋22＝(x－3)2＋62，得 ．此时 P．
在 △PAB 中，根据两边之差小于第三边，那么|PA－PB|总是小于 AB 了．如图 3-3，当
点P在BA 的延长线上时，|PA－PB|取得最大值，最大值 AB＝5．此时 P．
图3-2 图3-3
2
例 4、如图 4-1，菱形 ABCD 中，AB＝2，∠A＝120°，点 P、Q、K分别为线段
BC、CD、BD 上的 任意一点，求 PK＋QK 的最小值．
图4-1
【解析】如图 4-2，点 Q关于直线 BD 的对称点为 Q′，在△KPQ′中，PK＋QK 总是 大
于PQ′的．如图 4-3，当点 K落在 PQ′上时，PK＋QK 的最小值为 PQ′．如图 4-4，PQ′的最
小值为 Q′H，Q′H就是菱形 ABCD 的高，Q′H
＝
．
这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短．
图4-2 图4-3 图4-4
例 5、如图 5-1，菱形 ABCD 中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为 2和
1，P、E、F分别是边 CD、⊙B和⊙A上的动点，求 PE＋PF 的最小值．
图5-1
【解析】E、F、P三个点都不确定，怎么办？BE＝1，AF＝2是确定的，那么我们可
以求 PB＋PA－3的最小值，先求 PB＋PA 的最 小值（如图 5-2）．
如图 5-3，PB＋PA 的最小值为 AB′，AB′＝6．所以 PE＋PF 的最小值等于 3．
3
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