《中考数学第二轮重难题型突破》类型一动点探究

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类型一动点探究

例1、已知：等边三角形的边长为 4厘米，长为 1厘米的线段在的

边上沿方向以 1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点

到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于

两点，线段运动的时间为秒．

（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩

形的面积；

（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的

时间为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写

出自变量的取值范围．

【解析】：（1）过点作，垂足为．则，

当运动到被垂直平分时，四边形是矩形，即

时，

四边形是矩形，秒时，四边形是矩形．

，

（2）当时，

A M N

AMN

当时，

点评：此题关键也是对 P、Q两点的不同位置进行分类。

例2、如图，在梯形

ABCD

中，

90 6DC AB A AD  ∥ ， °，

厘米，

4DC 

厘

米，

的坡度

3 4i∶ ，

动点

从

出发以 2厘米/秒的速度沿

方向向点

运动，动点

从点

出发以 3厘米/秒的速度沿

B C D 

方向向点

运

动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动

点也随之停止．设动点运动的时间为

秒．

（1）求边

的长；

（2）当

为何值时，

与

相互平分；

（3）连结

PQ，

设

PBQ△

的面积为

y，

探求

与

的函数关系式，求

为何值时，

有最

大值？最大值是多少？

【解析】：（1）作

CE AB

于点

，如图（3）所示，则四边形

AECD

为矩形．

4 6AE CD CE DA    ，．

又

3 4 4

iEB

   ∶ ，．

8 12EB AB  ，．

2分

在

Rt CEB△

中，由勾股定理得：

2 2

10BC CE EB   ．

（2）假设

与

相互平分．由

DC AB∥ ，

则

PBCQ

是平行四边形（此时

在

上）．

即

3 10 12 2CQ BP t t    ，．

解得

t，

即

t

秒时，

与

相互平分．

图

（15

）

（3）①当

在

上，即

t≤ ≤

时，作

QF AB

于

，则

CE QF∥ ．

QF BQ

CE BC

  ，

即

3 9

6 10 5

QF t t

QF  ．．

1 1 9

(12 2 )

2 2 5

PBQ

S PB QF t   

△

· ·

9 81

( 3)

5 5

t   ．

当

3t

秒时，

PBQ

S

△

有最大值为

5厘米．

②当

在

上，即

10 14

3 3

t≤ ≤

时，

1 1 (12 2 ) 6

2 2

PBQ

S PB CE t    

△

36 6t．

易知

随

的增大而减小．故当

t

秒时，

PBQ

S

△

有最大值为

36 6 16

   厘米．

综上，当

3t

时，

PBQ

△

有最大值为

5厘米．

例3、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．

（1）如果点 P在线段 BC 上以 3厘米/秒的速度由 B点向 C点运动，同时，点 Q在线

段CA 上由 C点向 A点运动．

① 若点 Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1秒后，

与是否全等，请说明理由；

②若点 Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点 Q的运动速

度为多少时，能够使与全等？

（2）若点 Q以②中的运动速度从点 C出发，点 P以原来的运动速度从点 B同时出发，

都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点 P与点 Q第一次在的哪条边上相

遇？

【解析】：（1）①∵ 秒，∴ 厘米，

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