《中考数学第二轮重难题型突破》类型四 抛物线型问题（解析版）

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类型四 抛物线形问题
例1、已知平面直角坐标系
xOy
（如图 1），直线
mxy
的经过点
)0,4(A
和 点
)3,(nB
.
（1）求
m
、
n
的值；
（2）如果抛物线
cbxxy
2
经过点
、
，该抛物线的顶点为点
，求
ABPsin
的值；
（3）设点
在直线
mxy
上，且在第一象限内，直线
mxy
与
y
轴的交点为点
D
如果
DOBAQO
，求点
的坐标.
【答案】：（1）
1n
（2）
10
10
sin ABP
（3）（4,8）
【解析】：（1） ∵直线
mxy
的经过点
)0,4(A
∴
04 m
∴
4m
∵直线
mxy
的经过点
)3,(nB
∴
34 n
∴
1n
（2）由可知点
的坐标为
)3,1(
∵抛物线
cbxxy
2
经过点
、
∴
31
0416
cb
cb
∴
6b
，
8c
1
图1
Ox
y
∴抛物线
cbxxy
2
的表达式为
86
2
xxy
∴抛物线
86
2
xxy
的顶点坐标为
)1,3( P
∴
23AB
,
2AP
,
52PB
∴
222
PBBPAB
∴
90PAB
∴
PB
AP
ABP sin
∴
10
10
sin ABP
（3）过点
作
xQH
轴，垂足为点
H
，则
QH
∥
y
轴
∵
DOBAQO
,
QBOOBD
∴△
OBD
∽△
QBO
∴
OB
DB
QB
OB
∵直线
4xy
与
y
轴的交点为点
D
∴点
D
的坐标为
)4,0(
,
4OD
又
10OB
，
2DB
∴
25QB
，
24DQ
∵
23AB
∴
28AQ
,
24DQ
∵
QH
∥
y
轴
2
∴
AQ
AD
QH
OD
∴
28
244
QH
∴
8QH
即点
的纵坐标是
8
又点
在直线
4xy
上
点
的坐标为
)8,4(
例2、如图在直角坐标平面内，抛物线
3
2
bxaxy
与y轴交于点 A，与 x轴分别
交于点 B（-1，0）、点 C（3，0），点 D是抛物线的顶点.
（1）求抛物线的表达式及顶点 D的坐标；
（2）联结 AD、DC，求
ACD
的面积；
（3）点 P在直线 DC 上，联结 OP，若以 O、P、C为顶点的三角形与△ABC 相似，求
点P的坐标．
【答案】（1）（1，-4）（2）3（3）
)
5
18
,
5
6
(
1P
或
)2,2(
2
P
【解析】：（1） 点B（-1，0）、C（3，0）在抛物线
3
2
bxaxy
上
3
备用图
第 2 题图
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