《中考数学第二轮重难题型突破》类型四 二次函数与特殊三角形判定问题（解析版）

3.0 envi 2025-04-23 18 4 486.66KB 14 页 3知币
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类型四 二次函数与特殊三角形判定问题
例1、如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx ＋c(a≠0) 的对称轴为直线 x＝ － 1，且经过
A(1，0)，C(0，3)两点，与 x轴的另一个交点为 B.
(1)若直线 y＝mx＋n经过 B，C两点，求抛物线和直线 BC 的解析式；
(2)在抛物线的对称轴 x＝－1上找一点 M，使点 M到点 A的距离与到点 C的距离之和最小，
求点 M的坐标；
(3)设点 P为抛物线的对称轴 x＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点 P的坐
标．
【解析】解：(1) 依题意，得 ，解得
∴抛物线的解析式为 y＝－x2－2x＋3.
∵对称轴为 x＝－1，抛物线经过 A( 1，0)，
∴B(－3，0)．
设直线 BC 的解析式为 y＝mx＋n(m≠0)，
把B(－3，0)，C(0，3)分别代入 y＝mx＋n，得，
解得
∴直线 BC 的解析式为 y＝x＋3.
(2)如解图，设直线 BC 与对称轴 x＝－1的交点为 M，连接 MA，
∴MA＝MB，
∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC.
∴使 MA＋MC 最小的点 M应为直线 BC 与对称轴 x＝－1的交点．
把x＝－1代入直线 y＝x＋3，得 y＝2.
∴M(－1，2)．
1
(3)设P(－1，t)，结合 B(－3，0)，C(0，3)，得 BC2＝18，
PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.
1 若 B为直角顶点，则 BC2＋PB2＝PC2，即 18＋4＋t2＝t2－6t＋10，
解得 t＝－2；
②若 C为直角顶点，则 BC2＋PC2＝PB2，即 18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得 t＝4；
③若 P为直角顶点，则 PB2＋PC2＝BC2，即 4＋t2＋t2－6t＋10＝18，
解得 t1＝，t2＝.
综 上 所 述 ， 满足 条 件 的 点 P共 有 四 个 ， 分别 为 ： P1(－1， － 2) ，P2(－1，4) ，P3(－
1，)，P4(－1，)．
例2、如图，抛物线 y＝－x2＋x－4与x轴交于点 A、B，与 y轴交于点 C，抛物线的对称轴
与x轴交于点 M.P是抛物线在 x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)．
(1)求点 A，B的坐标；
(2)连接 AC、PB、BC，当 S△PBC＝S△ABC 时，求出此时点 P的坐标；
(3)分别过点 A、B作直线 CP 的垂线，垂足分别为点 D、E，连接 MD、ME.问△MDE 能否
为等腰直角三角形？若能，求此时点 P的坐标；若不能，说明理由．
　第 2题
【解析】解：(1)令y＝－x2＋x－4＝0，解得 x1＝1，x2＝5，
∴A点的坐标为(1，0)，B点的坐标为(5，0)．
(2)如解图①，过点 A作AP∥BC，与抛物线交于点 P，则 S△PBC＝S△ABC，
2
第1题解图 第2题解图①第 2题解图②
当x＝0时，y＝－x2＋x－4 ＝－4，
∴点 C的坐标为(0，－4)，
设过点 B
，
C两点的直线的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
则有 解得
∴直线 BC 的解析式为 y＝x－4，
由于 PA∥BC，设 AP 的解析式为 y＝x＋m，代入点 A(1，0)，解得 m＝－，
∴直线 AP 的解析式为 y＝x－，
联立方程组得 解得：
∴P点的坐标为(4，)．
(3)△MDE 能成为等腰直角三角形，理由：
∵抛物线 y＝－x2＋x－4＝－(x－3)2＋，
∴对称轴是直线 x＝3.
∴M(3，0)．
①当∠MED＝90°时，点 E
，
B
，
M在一条直线上，此种情况不成立；
②同理：当∠MDE＝90°时，不成立；
③当∠DME＝90°时，如解图②所示，
设直线 PC 与对称轴交于点 N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，
∴∠EMN＝∠DMA.
∵∠MDE＝45°，∠EDA＝90°，
∴∠MDA＝135°.
∵∠MED＝45°，
∴∠NEM＝135°，
∴∠ADM＝∠NEM＝135°.
3
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