《中考数学第二轮重难题型突破》类型三 新解题方法型

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类型三 新解题方法型
例1、 求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算
术》中便记载了求两个正整数最大公数最大公约数 的一种方法——更相减损术，术曰：
“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约
之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然
后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差 (或减数)
即为这两个正整数的最大公约数．
例如：求 91 与56 的最大公约数
　91－56＝35
56－35＝21
35－21＝14
21－1 4＝7
14 －7＝7
所以，91 与56 的最大公约数是 7.
请用以上方法解决下列问题：
(1)求108 与45 的最大公约数；
(2)求三个数 78、104、143 的最大公约数．
【解答】解：(1)108－45＝63
63－45＝18
45－18＝27
27－18＝9
18－9＝9
所以，108 与45 的最大公约数是 9；
(2)①先求104 与78 的最大公约数，
104－78＝26
78－26＝52
52－26＝26
所以，104 与78 的最大公约数是 26；
②再求 26 与143 的最大公约数，
143－26＝117
117－26＝91
1
91－26＝65
65－26＝39
39－26＝13
26－13＝13
所以，26 与143 的最大公约数是 13.综上所述，78、104、143 的最大公约数是 13.
例2、数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法
解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应
用．
探究：求不等式|x－1|< 2 的解集
(1)探究|x－1|的几何意义
【解答】如图①，在以 O为原点的数轴上，设点 A′对应的数是 x－1，由绝对值的定义
可知，点 A′与点 O的距离为|x－1|，可记为 A′O＝|x－1|.将线段 A′O 向右平移 1个单位得到
线段 AB，此时点 A对应的数是 x，点 B对应的数是 1.因 为 AB＝A′O，所以 AB＝|x－1|.因此，
|x－1|的几何意义可以理解为数轴上 x所对应的点 A与1所对应的点 B之间的距离 AB.
第2题图
(2)求方程|x－1|＝2的解
【解答】因为数轴上 3和－1所对应的点与 1所对应的点之间的距离都为 2，所以方程
的解为 3，－1.
(3)求不等式|x－1|<2 的解集
因为|x－1|表示数轴上 x所对应的点与 1所对应的点之间的距 离，所以求不等式解集就
转化为求这个距离小于 2的点对应的数 x的范围．
请在图②的数轴上表示|x－1|<2 的解集，并写出这个解集．
【解答】 解：在数轴上表示如解图所示．
第2题解图
所以，不等式的|x－1|<2 的解集为－1<x<3.
例3、古希腊数学家丢番图(公元 250 年前后)在《算术》中提到了一元二次方程的问题，
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